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東京大学 国立 東京大学 2013年 第3問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がいる.投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり,最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている.次の操作を繰り返す.

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す.
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す.

そして$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で,$2$点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点では$\mathrm{A}$は$1$点,$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる.

(1)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ.
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p(n)$を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2013年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がいる.投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり,最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている.次の操作を繰り返す.

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す.
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す.

そして$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で,$2$点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点では$\mathrm{A}$は$1$点,$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる. \\
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第2問
ある競技の大会に,チーム$1$,チーム$2$,チーム$3$,チーム$4$が参加している.大会は予選と決勝戦からなる.まず,抽選によって,図のように$2$チームずつに分かれて予選を行う.次に,各予選の勝者が決勝戦を行う.過去の対戦成績から次のことが分かっている.

チーム$i$とチーム$j$($1\leq i< j \leq 4$)が試合をするとき,確率$p$でチーム$j$が勝利し,確率$1-p$でチーム$i$が勝利する.ただし$0<p<1$である.

このとき,次の各問に答えよ.ただし,(1),(2),(3)は答のみ解答欄に記入せよ.

(1)チーム$1$が優勝する確率を求めよ.
(2)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦する確率を求めよ.
(3)予選においてチーム$1$とチーム$2$が対戦するとき,チーム$2$が優勝する確率を求めよ.
(4)この大会においてチーム$2$が優勝する確率$f(p)$を求めよ.
(5)$f(p)$を最大にする$p$の値を求めよ.
(図は省略)
立教大学 私立 立教大学 2011年 第2問
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った.

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り,偶数が出た場合は得点を$1$とし,奇数が出た場合は得点を$0$とする.
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で,より多くの得点をあげたものを勝者とし,得点が同じ場合は引き分けとする.
このとき,次の問に答えよ.

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で,終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合,得点の取り方は何通りあるか.
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ.
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ.
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