空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

$2$つの野球チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が優勝を争うシリーズ戦が行われる．先に$n$試合勝った方が優勝することにする．ただし，各試合において引き分けはないものとし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が相手に勝つ確率はそれぞれ$p,\ q (p+q=1,\ p>0,\ q>0)$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンを試合総数の少ない順にすべて書きなさい．例えば，シリーズ各試合の勝ちチームが順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$であったとき，この場合の勝敗パターンを$\mathrm{AABA}$で表すことにする．
(2)$n=3$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．
(3)$n=4$のとき，$\mathrm{A}$が優勝する場合の勝敗パターンの総数と，$\mathrm{A}$が優勝する確率とを求めなさい．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が交互にさいころを投げ，出た目の数を自分の得点とする．初めに$\mathrm{A}$がさいころを投げ，自分の得点の合計が先に$6$以上になった方を勝ちとしてゲームを終了する．ただし，例外として次の$3$つのルールを定める．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$が$1$の目を出したときは$\mathrm{A}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{A}$が$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{B}$が$1$または$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
\end{itemize}
このとき次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{A}$が$1$回目で勝つ確率を求めなさい．
(2)$2$回目で$\mathrm{B}$がさいころを投げてゲームが終了する確率を求めなさい．
(3)このゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれがさいころを$1$回ずつ投げる．
\begin{itemize}
同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
$p,\ q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．
\end{itemize}
$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_A$，$\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_B$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$E_A,\ E_B$をそれぞれ$p,\ q$で表せ．
(2)$E_A = E_B$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_A$の値を求めよ．

$2$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．

{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．

例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(4)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が勝つ確率を求めなさい．
(5)生徒$2$人のうち，少なくとも$1$人が引き分けとなる確率を求めなさい．

$2$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が先生$1$人を交えて次のようなゲームを行う．

{\bf ゲーム}：$1$から$5$までの番号が$1$枚に$1$つずつ書かれた$5$枚のカードの中から先生が生徒に$2$枚ずつカードを配る．残った$1$枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた$2$枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．$2$枚とも大きければ生徒の勝ち．$1$枚が大きく$1$枚が小さければ引き分け．$2$枚とも小さければその生徒の負けとなる．

例えば，$\mathrm{A}$に$3$と$4$のカードが配られ，$\mathrm{B}$に$1$と$5$のカードが配られたとき，先生のカードは$2$なので，$\mathrm{A}$は勝ち，$\mathrm{B}$は引き分けとなる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)生徒$2$人がともに勝つ確率を求めなさい．
(2)生徒$2$人がともに引き分けとなる確率を求めなさい．
(3)生徒$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．