Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を，Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち，札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である．両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き，表にして数字を比べる．ただし，$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで，両者の数字が等しいときは引き分けとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=1$とする．

(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．

(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．

$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の$2$人が，次のゲームを繰り返し行う．
\begin{itemize}
$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$それぞれが，所持しているすべての硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨の枚数が多い方を勝ちとし，枚数が同じ場合は引き分けとする．
勝った方は，負けた方から硬貨を$1$枚もらう．また引き分けの場合は，硬貨のやりとりはしない．
\end{itemize}
ゲーム開始時に，$\mathrm{X}$は$3$枚，$\mathrm{Y}$は$2$枚の硬貨を所持している．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$1$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$4$枚になる確率を求めよ．
(2)$2$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$5$枚になる確率を求めよ．

男子チームと女子チームがある．$1$から$8$までの数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードを$1$枚引き，その数字が$5$以下であれば男子の勝ち，$5$より大きければ女子の勝ちになるゲームをする．引いたカードを戻さずにこのゲームを$3$回するとき，以下の問に答えよ．

(1)$3$回ともすべて男子の勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．$X=2$のとき，少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合の数を求めよ．
(3)$3$回のゲームで取り出したカードの数字の小さい順に，$X,\ Y,\ Z$とする．少なくとも$1$回は男子が勝ちとなる場合について$X$の期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が袋の中から玉を$1$つずつ交互に取り出すゲームを考える．最初に玉を取り出すのは$\mathrm{A}$で，また$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はともに取り出した玉を袋に戻さない．

(1)初め袋の中には白玉が$(2n-2)$個（$n \geqq 1$），赤玉が$2$個入っているとする．$2$つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が$(2n-3)$個（$n \geqq 2$），赤玉が$2$個，黒玉が$1$個入っているとする．次の$(ⅰ)$と$(ⅱ)$にしたがって勝敗を決めるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(i) 一方が黒玉を取り出したときは，他方を勝ちとして終了する．
(ii) 一方が$2$つ目の赤玉を取り出したときは，その者を勝ちとして終了する．

AとBの2人が，1個のサイコロを次の手順により投げ合う．\\
\quad 1回目はAが投げる．\\
\quad $1,\ 2,\ 3$の目が出たら，次の回には同じ人が投げる．\\
\quad $4,\ 5$の目が出たら，次の回には別の人が投げる．\\
\quad 6の目が出たら，投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない．

(1)$n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ．
(2)ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ．
(3)$n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率$q_n$を求めよ．

袋の中に0から4までの数字のうち1つが書かれたカードが1枚ずつ合計5枚入っている．4つの数$0,\ 3,\ 6,\ 9$をマジックナンバーと呼ぶことにする．次のようなルールをもつ，1人で行うゲームを考える．\\
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．

(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．

図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．

(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．

次のようなゲームを考える．成功の確率が$p \ (0<p<1)$，失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき，ゲームはAに有利であるといい，Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．このとき，次の問に答えよ．

(1)Aから始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABAB$\cdots$という順で試行を行う．このとき，$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ．
(2)Aから始めるが，Aが1回に対して，Bは2回試行を行えるとする．すなわち，ABBABB$\cdots$という順で試行を行う．$p$がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．
(3)(2)において，ゲームが公平であるとき，$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ．

以下の問で，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$3$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$3$人でじゃんけんをする．負けた人がいれば，じゃんけんから抜け，$1$人の勝者が決まるか，じゃんけんの回数が$3$回になるまで繰り返す．じゃんけんの回数が$2$回以内で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，ちょうど$3$回で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(3)$4$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$，$2$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

袋に赤玉が$1$個，白玉が$2$個の合計$3$個の玉が入っている．袋から玉$1$個を取り出し，玉の色を確認し，また袋に戻す，という作業を$2$回行い，これを$1$回の試行と考える．この試行を使って，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下のようなゲームをすることにした．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．