「勝ち」について
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国立 山形大学 2016年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
私立 沖縄国際大学 2016年 第4問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
私立 龍谷大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり，そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを，$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
公立 名古屋市立大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人で交互にボールを的に向かって投げるゲームを行う．先にボールを的に当てた方を勝ちとしゲームを終了する．$\mathrm{A}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$p$，$\mathrm{B}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$q$である．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$である．$\mathrm{A}$を先攻とし，$\mathrm{A}$の最初の投球を$1$回目，次の$\mathrm{B}$の投球を$2$回目，$\cdots$と数える．次の問いに答えよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
(1)$n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．
国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第4問$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
国立 滋賀大学 2014年 第3問次のようなゲームを行い，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人の中から$1$人の勝者を決める．赤玉$3$個，白玉$5$個，黒玉$7$個が入った袋から$4$個の玉を同時に取り出し，最も多く取り出された玉が赤玉ならば$\mathrm{A}$，白玉ならば$\mathrm{B}$，黒玉ならば$\mathrm{C}$の勝ちとする．ただし，赤玉と白玉が$2$個ずつ，あるいは赤玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{A}$の勝ち，白玉と黒玉が$2$個ずつ取り出されたときは$\mathrm{B}$の勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．
(1)取り出された$4$個の玉が，赤玉$1$個，白玉$1$個，黒玉$2$個である確率を求めよ．
(2)このゲームを$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が勝つ確率$p_A$，$p_B$，$p_C$をそれぞれ求めよ．
(3)このゲームを$6$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が$1$回，$\mathrm{B}$が$2$回，$\mathrm{C}$が$3$回勝つ確率を$p_A$，$p_B$，$p_C$を用いて表せ．