以下の各問いに答えなさい．

(1)次の命題$(ⅰ)$～$\tokeijyu$の真偽を書きなさい．

(i) 自然数ならば偶数である．
(ii) 食べ物ならば果物である．
(iii) 人間でないならば動物ではない．
\mon[$\tokeishi$] 整数ならば実数である．
\mon[$\tokeigo$] $|2x^2-5x-3|>0$ならば$x \neq 3$である．
\mon[$\tokeiroku$] $x^2=9$ならば$x=3$である．
\mon[$\tokeishichi$] $2$の倍数ならば$4$の倍数である．
\mon[$\tokeihachi$] $x+y>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である．
\mon[$\tokeikyu$] $A \cap B=\phi$ならば$A \neq B$である．
\mon[$\tokeijyu$] $A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{2y+2 \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$ならば$A \subset B$である．

(2)以下の図において$A \cup B$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(3)$2x^2-x-1=0$の必要条件を次の$(ⅰ)$～$\tokeishi$からすべて選び，解答欄に記号で答えなさい．

(i) $x<0$
(ii) $x$は素数である．
(iii) $|x| \leqq 1$
\mon[$\tokeishi$] $x$は実数である．

(4)命題「$(x-1)^2=0$ならば$x=-1$または$x=1$」の逆，裏，対偶を解答欄に書きなさい．またこの命題の真偽を書き，偽のときは反例を挙げなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}

\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．

医学部における研究では，いろいろな動物が用いられる．これらの動物を生育して，研究者たちに販売する者の立場から，動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を題材にして，以下の問題を考察する．

(1)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を生育するには，$3$種類の栄養素$p,\ q,\ r$が必要である．生育量（単位$\mathrm{kg}$）と栄養素の量は，ともに実数で示される．
（条件a） $\mathrm{A}$を$x \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$5x$，$q$が$5x$，$r$が$x$の量，同時に必要である．$\mathrm{A}$の販売価格は$10$万円$/ \mathrm{kg}$である．
（条件b） $\mathrm{B}$を$y \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$4y$，$q$が$y$，$r$が$2y$の量，同時に必要である．$\mathrm{B}$の販売価格は$5$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$，$r$が$2$の量であると仮定する．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ求めよ．
(2)動物$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に加えて，動物$\mathrm{C}$も$p,\ q,\ r$の栄養素によって生育できることがわかる．
（条件c） $\mathrm{C}$を$z \; \mathrm{kg}$生育するには，$p$が$2z$，$q$が$3z$，$r$が$z$の量，同時に必要である．$\mathrm{C}$の販売価格は$8$万円$/ \mathrm{kg}$である．
手持ちの栄養素は今，$p$が$5$，$q$が$4$の量であるが，(1)の場合と違って$r$はいくらでも手に入るものと仮定する．次の問い$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．

(i) $\mathrm{C}$の生育量$z \; \mathrm{kg}$は，$\displaystyle z=k \ \left( 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10} \right)$として値を固定し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の生育量をそれぞれ$x \; \mathrm{kg}$，$y \; \mathrm{kg}$として変化させる．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$を図示せよ．さらに，$(x,\ y)$がこの領域を動くとき，販売額の最大値を$w(k)$とかく．$w(k)$を$k$の式で表せ．
(ii) $\mathrm{C}$の生育量$z=k$を，$\displaystyle 0 \leqq k \leqq \frac{11}{10}$の範囲から$\displaystyle \frac{11}{10} \leqq k \leqq \frac{4}{3}$の範囲に変更する．このとき，点$(x,\ y)$の動く領域$D(k)$および販売額の最大値$w(k)$はどうなるか，調べよ．
(iii) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$をそれぞれ何$\mathrm{kg}$生育すれば，販売額が最大となるか．販売額の最大値，およびそのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の生育量をそれぞれ求めよ．

ある動物の染色体$10$種類の中から無作為に$1$つ選ぶ作業を$5$回行った．ただし何度この作業を行っても，これら$10$種類の染色体の選び易さは常に同様であるものとする．

(1)$5$回ともすべて異なる種類の染色体を選ぶ確率は$[　]$である．
(2)$5$回中ある$1$種類の染色体が$3$回，それと異なるもう$1$種類の染色体が$2$回それぞれ選ばれる確率は$[　]$である．