タグ「動点P」の検索結果

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岩手大学 国立 岩手大学 2012年 第6問
動点Pは,$xy$平面上の原点$(0,\ 0)$を出発し,$x$軸の正の方向,$x$軸の負の方向,$y$軸の正の方向,および$y$軸の負の方向のいずれかに,1秒ごとに1だけ進むものとする.その確率は,$x$軸の正の方向と負の方向にはそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{5}$,$y$軸の正の方向には$\displaystyle \frac{2}{5}$,および$y$軸の負の方向には$\displaystyle \frac{1}{5}$である.このとき次の問いに答えよ.

(1)2秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ.
(2)4秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ.
(3)5秒後に動点Pが点$(2,\ 3)$にある確率を求めよ.
大分大学 国立 大分大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき,$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ.
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある.コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ,コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み,コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む.この試行を3回続けて行ったとき,点Pが原点にある確率を求めよ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2012年 第3問
座標空間内において,2点O$(0,\ 0,\ 0)$,A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA,平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$,および$C$上の動点Pがあるとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき,A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ.
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け.
(3)(2)の図形の面積を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2011年 第2問
実数$\theta$が動くとき,$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える.$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする.$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
奈良教育大学 国立 奈良教育大学 2011年 第1問
以下の設問に答えよ.

(1)初項$a$,公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し,その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ.
(2)座標平面上で,動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み,次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み,次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み,次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む.以下,動点Pがこのような運動を続けるとき,動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ.
東京工業大学 国立 東京工業大学 2010年 第4問
$a$を正の定数とする.原点をOとする座標平面上に定点A = A$(a,\ 0)$と,Aと異なる動点P = P$(x,\ y)$をとる.次の条件
\begin{eqnarray}
& & \text{AからPに向けた半直線上の点Qに対し} \nonumber \\
& & \frac{\text{AQ}}{\text{AP}} \leqq 2 \quad \text{ならば} \quad \frac{\text{QP}}{\text{OQ}} \leqq \frac{\text{AP}}{\text{OA}} \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすPからなる領域を$D$とする.$D$を図示せよ.
福井大学 国立 福井大学 2010年 第1問
座標平面上に4点O$(0,\ 0)$,A$(4,\ 0)$,B$(4,\ 4)$,C$(0,\ 4)$をとり,正方形OABCを考える.点Bを出発点とする2つの動点P,Qが,次の規則に従って動くものとする.

1枚のコインを投げ,
表が出たときには,点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み,点Qは動かない.
裏が出たときには,点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み,点Pは動かない.

この試行を4回繰り返し,その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う.以下の問いに答えよ.

(1)ゲームの終了時に,点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ.
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ.
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2010年 第4問
空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$,Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある.原点をOとするとき,次の問いに答えよ.

(1)$t=0$のとき,$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(3)4点O,A,P,Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2010年 第1問
空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$,Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある.原点をOとするとき,次の問いに答えよ.

(1)$t=0$のとき,$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(3)4点O,A,P,Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ.
電気通信大学 国立 電気通信大学 2010年 第2問
座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする.ただし,$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする.直線$y=x$を$\ell$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ.
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ.
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ.

以下では,$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする.

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ.
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし,$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる.$f(\alpha)$の最大値,最小値を求め,それらを与える$\alpha$の値を求めよ.
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「動点P」とは・・・

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