動点Pは，$xy$平面上の原点$(0,\ 0)$を出発し，$x$軸の正の方向，$x$軸の負の方向，$y$軸の正の方向，および$y$軸の負の方向のいずれかに，1秒ごとに1だけ進むものとする．その確率は，$x$軸の正の方向と負の方向にはそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{5}$，$y$軸の正の方向には$\displaystyle \frac{2}{5}$，および$y$軸の負の方向には$\displaystyle \frac{1}{5}$である．このとき次の問いに答えよ．

(1)2秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)4秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ．
(3)5秒後に動点Pが点$(2,\ 3)$にある確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確率を求めよ．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える．$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする．$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

$a$を正の定数とする．原点をOとする座標平面上に定点A = A$(a,\ 0)$と，Aと異なる動点P = P$(x,\ y)$をとる．次の条件
\begin{eqnarray}
& & \text{AからPに向けた半直線上の点Qに対し} \nonumber \\
& & \frac{\text{AQ}}{\text{AP}} \leqq 2 \quad \text{ならば} \quad \frac{\text{QP}}{\text{OQ}} \leqq \frac{\text{AP}}{\text{OA}} \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすPからなる領域を$D$とする．$D$を図示せよ．

座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．

1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．

この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．

空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．

空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．

座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．

以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．

\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．