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大分大学 国立 大分大学 2013年 第3問
曲線$y=x^2$の上を動く点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある.この動点の速度ベクトルの大きさが一定$C$のとき,次の問いに答えよ.ただし,動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は時刻$t$に対して$x$が増加するように動くとする.

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$を$x$で表せ.
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$の加速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{\alpha}=\left( \frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)$を$x$で表せ.
(3)半径$r$の円$x^2+(y-r)^2=r^2$上を速度ベクトルの大きさが一定$C$で動く点$\mathrm{Q}$があるとき,この加速度ベクトルの大きさを求めよ.
(4)動点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の原点$(0,\ 0)$での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの半径$r$を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2012年 第9問
以下の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で,ある$a<b$に対して,$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする.このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ.
(2)直線道路上における車の走行を考える.ある信号で停止していた車が,時刻0で発進後,距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した.この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2012年 第4問
座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される.

(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である.
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり,その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる.
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は,その大きさが一定の値$[チ]$をとり,$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり,$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである.
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