$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]

三角関数の加法定理を用いて，次が成り立つことを示せ．
\[ \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

以下の問いに答えよ．

(1)正弦，余弦に関する加法定理
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を用いて等式
\[ \sin 3x=3 \sin x-4 \sin^3 x \]
を証明せよ．
(2)関数$y=\sin 3x+3 \cos 2x+6 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をすべて求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)角$\mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin B$と$\cos B$の値を求めよ．
(3)加法定理を用いて，角$\mathrm{B}$の大きさを求めよ．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)(2)の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)(2)の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

次の問いに答えなさい．ただし，以下の角$\theta$は鋭角とし，$\tan \theta=t$とおく．

(1)$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．また，特に$\tan 2\theta=\sqrt{8}$の場合に$t$の値を求めよ．
(2)加法定理を利用し，$\tan 3\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\tan 3\theta=1$のとき，$t$の値を求めよ．