「到達」について
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国立 岡山大学 2011年 第1問空間内に点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から出発し，一回につき$x$軸，$y$軸，$z$軸いずれか一つの方向に長さ$1$だけ移動する．
(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．
(2)さいころを投げて$1,\ 2,\ 3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4,\ 5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(3)$(2)$と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．
(2)さいころを投げて$1,\ 2,\ 3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4,\ 5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(3)$(2)$と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
公立 愛知県立大学 2011年 第1問数直線上を次の規則で動く点Pがある．
(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．
はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．
(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．
はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．
国立 和歌山大学 2010年 第2問$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
国立 和歌山大学 2010年 第2問$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第4問点Pは数直線上の原点から出発して，「確率$p$で$+1$，確率$1-p$で$+2$」の移動を繰り返す．ただし$0 \leqq p \leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第3問座標平面上において，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y)$または点$(x,\ y+1)$への移動をN型移動といい，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y+1)$への移動をS型移動という．$n$を3以上の整数とする．原点Oから出発し，$2n-2$回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点$(n,\ n)$に到達する径路の総数を$A(n)$とする．また，このような径路のうち，S型移動を$k$回目の移動として含む径路の総数を$B(n,\ k)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．
ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．
(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．
ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．