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公立 名古屋市立大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
公立 会津大学 2010年 第6問以下の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ -\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}<-\frac{1}{n+1} \]
(2)(1)の結果を利用して，すべての自然数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n+1} \]
(1)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ -\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}<-\frac{1}{n+1} \]
(2)(1)の結果を利用して，すべての自然数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n+1} \]