次の$[ア]$から$[コ]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}-2 \sqrt{4+\sqrt{15}}=[ア]$
(2)平行四辺形$\mathrm{OACB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に分ける点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{a}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{b}$である．
(3)あるパーティー会場には$100$名の来場者があった．来場までの交通手段についてアンケートをとったところ，電車を利用した人が$46$名，バスを利用した人が$53$名，両方とも利用した人が$12$名であった．無回答の人はいなかった．このとき，電車もバスも利用していない人は$[カ][キ]$名である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^2 (|x^2+x-2|+1) \, dx=\frac{[ク][ケ]}{[コ]}$

曲線$C_1:y=x^3-3x$と，$C_1$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動して得られる曲線$C_2$との交点の$x$座標は，$\displaystyle \frac{[ホ] \pm \sqrt{[マ]}}{[ミ]}$である．

$\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx=\frac{[ムメ]}{[モ]}(b-a)^3$を利用すると，$C_1$と$C_2$で囲まれる面積は，$\displaystyle \frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラ]}$である．

白，赤，黄，緑の$4$色に光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，$1$分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$，それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする．

(i) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ii) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(iii) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる．
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．

$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．

(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，


$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$

$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$


である．

以下の問いに答えなさい．

$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする．
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1)$\theta$の値を答えなさい．
(2)$\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3)$(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について，$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．また，一般項$a_n$を推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め，$1 \leqq x \leqq 4$のとき，次の方程式を解け．
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め，次の不等式を解け．
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意：} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す．

右図のような四面体$\mathrm{OABC}$がある．各面$\mathrm{ABC}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$，$\mathrm{OAB}$の \\
重心を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とおく．次の問いに答えよ．
\img{713_2938_2013_1}{25}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{U}$は，実数$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OU}}=s \overrightarrow{\mathrm{OP}} (0 \leqq s \leqq 1)$と表され，線分$\mathrm{AQ}$上の点$\mathrm{V}$は，実数$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OV}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OQ}} (0 \leqq t \leqq 1)$と表される．このことを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(4)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$の中から必要なものを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$をそれぞれ表せ．また，点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BR}$および線分$\mathrm{CS}$上にあることを示せ．