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私立 中央大学 2015年 第4問「当たり」のカードが$2$枚，「外れ」のカードが$8$枚，計$10$枚のカードが入っている箱がある．この箱を使って，次の試行を行う．
\begin{itemize}
試行$\mathrm{A}$：カードを$1$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
試行$\mathrm{B}$：カードを$2$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
\end{itemize}
$k$を正の整数とし，試行$\mathrm{A}$を$k$回繰り返したとき，
「当たり」の有る試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$P(k)$とする．一方，試行$\mathrm{B}$を$k$回繰り返した時に，
$2$枚とも「当たり」である試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$Q(k)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$P(3)$および$Q(2)$を求めよ．
(2)下の常用対数表を用いて，$\log_{10}45$の値を小数点以下$3$位まで求めよ．
\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $7$ & $11$ & $13$ \\ \hline
$\log_{10}n$ & $0.301$ & $0.477$ & $0.845$ & $1.041$ & $1.114$ \\ \hline
\end{tabular}
(3)$P(10)$と$Q(100)$はどちらが大きいか．根拠を述べて解答せよ．なお，前問の常用対数表を利用してよい．
\begin{itemize}
試行$\mathrm{A}$：カードを$1$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
試行$\mathrm{B}$：カードを$2$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
\end{itemize}
$k$を正の整数とし，試行$\mathrm{A}$を$k$回繰り返したとき，
「当たり」の有る試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$P(k)$とする．一方，試行$\mathrm{B}$を$k$回繰り返した時に，
$2$枚とも「当たり」である試行が，少なくとも$1$回ある確率
を$Q(k)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$P(3)$および$Q(2)$を求めよ．
(2)下の常用対数表を用いて，$\log_{10}45$の値を小数点以下$3$位まで求めよ．
\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $7$ & $11$ & $13$ \\ \hline
$\log_{10}n$ & $0.301$ & $0.477$ & $0.845$ & $1.041$ & $1.114$ \\ \hline
\end{tabular}
(3)$P(10)$と$Q(100)$はどちらが大きいか．根拠を述べて解答せよ．なお，前問の常用対数表を利用してよい．
私立 中央大学 2015年 第2問ある鉄道会社では平成$26$年$3$月まで，最低運賃$130$円から$1000$円まで$10$円きざみで運賃が設定されていた．この年$4$月からの消費税率の引き上げに伴い，次のように運賃を改定することにした．
\mon[$①$] $\mathrm{IC}$カードを利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$1$円未満の端数を切り捨て，$1$円単位にした額を新運賃とする．
\mon[$②$] 券売機等で発売する切符を利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$10$円未満の端数を切り上げ，$10$円単位とした額を新運賃とする．
以下の問いに答えよ．
(1)切符を利用する場合，$20$円の値上げとなるような改定前運賃の範囲を求めよ．
(2)運賃改定後，$\mathrm{IC}$カードを利用した場合と，切符を利用した場合で運賃の差が最大となるような改定前運賃をすべて求めよ．
(3)切符を利用する場合の規則を，$10$円未満の端数を切り上げるのではなく，四捨五入する計算方法に変えたとする．このとき，値上げにならない運賃の範囲を求めよ．
\mon[$①$] $\mathrm{IC}$カードを利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$1$円未満の端数を切り捨て，$1$円単位にした額を新運賃とする．
\mon[$②$] 券売機等で発売する切符を利用する場合
改定前の運賃に$108/105$を乗じ，$10$円未満の端数を切り上げ，$10$円単位とした額を新運賃とする．
以下の問いに答えよ．
(1)切符を利用する場合，$20$円の値上げとなるような改定前運賃の範囲を求めよ．
(2)運賃改定後，$\mathrm{IC}$カードを利用した場合と，切符を利用した場合で運賃の差が最大となるような改定前運賃をすべて求めよ．
(3)切符を利用する場合の規則を，$10$円未満の端数を切り上げるのではなく，四捨五入する計算方法に変えたとする．このとき，値上げにならない運賃の範囲を求めよ．
公立 会津大学 2015年 第6問$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式を示せ．
\[ \comb{n+2}{3}+\comb{n+2}{2}=\comb{n+3}{3} \]
(2)$(1)$の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．
\[ \sum_{i=1}^n \comb{i+1}{2}=\comb{n+2}{3} \]
(1)次の等式を示せ．
\[ \comb{n+2}{3}+\comb{n+2}{2}=\comb{n+3}{3} \]
(2)$(1)$の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．
\[ \sum_{i=1}^n \comb{i+1}{2}=\comb{n+2}{3} \]
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
国立 長岡技術科学大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x},\ x>0$を考える．下の問いに答えなさい．
(1)$f(x)$の最大値，およびその最大値を与える$x$の値を求めなさい．
(2)$(1)$の結果を利用して$e^3>3^e$であることを証明しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$f(x)$の最大値，およびその最大値を与える$x$の値を求めなさい．
(2)$(1)$の結果を利用して$e^3>3^e$であることを証明しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 大分大学 2014年 第2問数列の和について次の一連の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$を示しなさい．
(2)多項式$(k+1)^3-k^3$の展開を利用して$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$を示しなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$を示しなさい．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4$を求めなさい．結果は因数分解すること．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$を示しなさい．
(2)多項式$(k+1)^3-k^3$の展開を利用して$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$を示しなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$を示しなさい．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4$を求めなさい．結果は因数分解すること．
国立 宮崎大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．
(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）
(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．
(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）
(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）
(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．
(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）
国立 福井大学 2014年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
国立 宮崎大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）
(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．
(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）
(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）
(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．
(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）
私立 津田塾大学 2014年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 2 \cos \frac{2}{5} \pi-2 \cos \frac{\pi}{5}+1=0$が成り立つことを利用して$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2}{5} \pi \cdot \cos \frac{3}{5} \pi \cdot \cos \frac{4}{5} \pi$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle 2 \cos \frac{2}{5} \pi-2 \cos \frac{\pi}{5}+1=0$が成り立つことを利用して$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2}{5} \pi \cdot \cos \frac{3}{5} \pi \cdot \cos \frac{4}{5} \pi$の値を求めよ．