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国立 防衛医科大学校 2016年 第2問$m$個の玉を$n$個の箱に入れる作業を考える（$1 \leqq m \leqq n$）．各玉をどの箱に入れるかはランダム，すなわち，すべての箱は$\displaystyle \frac{1}{n}$の確率で選ばれるものとし，各々の玉を入れる作業は独立であるとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)すべての玉が別々の箱に入る確率はいくらか．
(2)$m=3$のとき，$2$個の箱にのみ玉が入る確率はいくらか．
(3)$m-k$個の箱にのみ玉が入る確率を$P_{m,k}(n)$とする．ここで，$m \geqq 2$，$1 \leqq k \leqq m-1$である．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,k}(n)$はいくらか．
(1)すべての玉が別々の箱に入る確率はいくらか．
(2)$m=3$のとき，$2$個の箱にのみ玉が入る確率はいくらか．
(3)$m-k$個の箱にのみ玉が入る確率を$P_{m,k}(n)$とする．ここで，$m \geqq 2$，$1 \leqq k \leqq m-1$である．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,k}(n)$はいくらか．
国立 愛知教育大学 2015年 第4問放物線$y=x^2+ax+b$により，$xy$平面を$2$つの領域に分割する．以下の問いに答えよ．
(1)点$(-1,\ 4)$と点$(2,\ 8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a,\ b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,\ b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．
(1)点$(-1,\ 4)$と点$(2,\ 8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a,\ b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,\ b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．
私立 北里大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．
(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．
(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．
(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．
$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．
(1)$k$を定数とするとき，方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$，実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である．また，曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である．
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち，その点において共通の接線をもつとするとき，定数$k$の値は$[エ]$，共通の接線の方程式は$y=[オ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．このとき，$a_4=[カ]$であり，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．また，$S_n=[ク]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である．
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である．
(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは，毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる．
(i) 食堂$\mathrm{A}$，食堂$\mathrm{B}$，食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる．
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ．
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は，必ず一緒に食事をとる．
$1$日目，$2$人は別々の食堂で食事をとったとする．このとき，$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である．また，$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である．
国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．