$1$から順に自然数$n$を$2n$個ずつ並べた数列
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \sitabrace{n,\ n,\ \cdots,\ n}_{2n個},\ \cdots \]
を考える．

(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$k$項までの和が$5555$以上になるような最小の$k$を求めよ．

$A$を正定数，角$\theta$を$0^\circ<\theta<45^\circ$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1 = \frac{A\sin \theta}{1+\sin \theta} \]
\[ a_n = \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\}\sin \theta}{1+\sin \theta} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義する。
このとき，次の各間に答えよ．

(1)$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$a_n (n \geqq 3)$を，$a_{n-1}$および$A,\ \theta$を用いて表せ．
(3)初項から第$n$項までの和$S_n = a_1+\cdots+a_n$を，$A,\ \theta$および$n$を用いて表せ．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

以下の問に答えよ．

(1)$a$を$0$以上$7$以下の整数，$b$を$88$以下の正の整数，$c$を$1024$の倍数とする．このとき，$89a+b$のとり得る値の最大値は
[ア][イ][$1$]である．$89a+b-c+669$が$1024$の倍数のとき，$89a+b=[ウ][エ][$5$]$となって，$a=[オ]$，$b=[カ][$8$]$となる．
(2)数列
\[ \{a_n\} : \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{4},\ \frac{7}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
について次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \frac{35}{49}$は数列$\{a_n\}$の第$\kakkofour{キ}{ク}{ケ}{4}$項である．
(ii) 数列$\{a_n\}$の第$2008$項は
\[ a_{2008}=\frac{[コ][サ][9]}{[シ][3]} \]
である．
(iii) 数列$\{a_n\}$の初項から第$1005$項までの和は
\[ [ス][セ][5] \]
である．

数列$\{a_n\}$を初項$1$，公差$\displaystyle \frac{1}{2}$の等差数列，$\{b_n\}$を初項$2$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，$\{c_n\}$を$c_1=3$，$c_{n+1}-c_n=n+1$で定まる数列とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の点$(a_n,\ b_n,\ c_n)$を$\mathrm{P}_n$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\left( \frac{[キ]}{[ク]} (n+[ケ]),\ 2^{[コ]-n},\ \frac{[サ]}{[シ]}(n^2+n+[ス]) \right)$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}=\left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ -[タ]^{1-n},\ n+[チ] \right)$である．

(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}|>100$となるような最小の自然数$n$は$[ツテ]$である．

$\displaystyle a_1=3,\ a_2=4,\ a_{n+2}=\frac{4}{3}a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_{n+1}-a_n=c(a_n-a_{n-1})$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n=d \left( a_n-\frac{1}{3}a_{n-1} \right)$を満たす定数$c$と$d$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}-a_n$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

$\displaystyle a_1=3,\ a_2=4,\ a_{n+2}=\frac{4}{3}a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_{n+1}-a_n=c(a_n-a_{n-1})$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n=d \left( a_n-\frac{1}{3}a_{n-1} \right)$を満たす定数$c$と$d$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}-a_n$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

初項$a_1=2$および漸化式
\[ a_{n+1}=ra_n+(1-r)n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$がある．ただし，$r \neq 0$とする．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n-1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いた式で表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)$c_n=a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{c_n\}$が等差数列となるような$r$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

初項$-2$，公差$3$の等差数列の第$10$項は$[　]$である．また，この数列の初項から第$10$項までの和は$[　]$である．