「初項」について
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国立 香川大学 2010年 第2問数列$\{a_n\}$を初項1，公差$\displaystyle \frac{2}{7}$の等差数列とするとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$および初項から第$n$項までの和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$を用いて表せ．
(2)実数$x$に対して，$m \leqq x$をみたす最大の整数$m$を$[\,x\,]$で表す．数列$\{b_n\}$を$b_n=[\,a_n\,]$で定めるとき，$b_7,\ b_{14},\ b_{15}$を求めよ．
(3)(2)で定めた数列$\{b_n\}$について，$b_{100}$および$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} b_k$を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第6問2つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．
(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．
\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．
\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．
(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．
\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．
\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第2問次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問自然数の数列$\{a_n\}$が$a_1=1,\ 2a_n \leqq a_{n+1} \leqq 3a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)第5項$a_5$の取り得る値の範囲を答えよ．
(2)第$k$項$a_k$が$a_k=9$を満たす$k$の値と，そのときの初項から第$k$項までの候補をすべてあげよ．
(3)第$n$項$a_n$が$a_n=100$を満たすとき，$n$の取り得る値の範囲を答えよ．
(1)第5項$a_5$の取り得る値の範囲を答えよ．
(2)第$k$項$a_k$が$a_k=9$を満たす$k$の値と，そのときの初項から第$k$項までの候補をすべてあげよ．
(3)第$n$項$a_n$が$a_n=100$を満たすとき，$n$の取り得る値の範囲を答えよ．
国立 群馬大学 2010年 第3問2つの数$a,\ b$を用いてできる数列
\[ a,\ b,\ 2a,\ a+b,\ 2b,\ 3a,\ 2a+b,\ a+2b,\ 3b,\ 4a,\ 3a+b,\ 2a+2b,\ a+3b,\ 4b,\ \cdots \]
を$\{c_n\}$とする．
(1)$c_{50}$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50}c_n$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a=2,\ b=5$とする．上の数列$\{c_n\}$から，前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を$\{d_n\}$とするとき，$\{d_n\}$の初項から第$2n$項までの和を求めよ．
\[ a,\ b,\ 2a,\ a+b,\ 2b,\ 3a,\ 2a+b,\ a+2b,\ 3b,\ 4a,\ 3a+b,\ 2a+2b,\ a+3b,\ 4b,\ \cdots \]
を$\{c_n\}$とする．
(1)$c_{50}$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50}c_n$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a=2,\ b=5$とする．上の数列$\{c_n\}$から，前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を$\{d_n\}$とするとき，$\{d_n\}$の初項から第$2n$項までの和を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第3問2つの数$a,\ b$を用いてできる数列
\[ a,\ b,\ 2a,\ a+b,\ 2b,\ 3a,\ 2a+b,\ a+2b,\ 3b,\ 4a,\ 3a+b,\ 2a+2b,\ a+3b,\ 4b,\ \cdots \]
を$\{c_n\}$とする．
(1)$c_{50}$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50}c_n$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a=2,\ b=5$とする．上の数列$\{c_n\}$から，前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を$\{d_n\}$とするとき，$\{d_n\}$の初項から第$2n$項までの和を求めよ．
\[ a,\ b,\ 2a,\ a+b,\ 2b,\ 3a,\ 2a+b,\ a+2b,\ 3b,\ 4a,\ 3a+b,\ 2a+2b,\ a+3b,\ 4b,\ \cdots \]
を$\{c_n\}$とする．
(1)$c_{50}$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50}c_n$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a=2,\ b=5$とする．上の数列$\{c_n\}$から，前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を$\{d_n\}$とするとき，$\{d_n\}$の初項から第$2n$項までの和を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第3問2つの数$a,\ b$を用いてできる数列
\[ a,\ b,\ 2a,\ a+b,\ 2b,\ 3a,\ 2a+b,\ a+2b,\ 3b,\ 4a,\ 3a+b,\ 2a+2b,\ a+3b,\ 4b,\ \cdots \]
を$\{c_n\}$とする．
(1)$c_{100}$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}c_n$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a=2,\ b=5$とする．上の数列$\{c_n\}$から，前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を$\{d_n\}$とするとき，$\{d_n\}$の初項から第$2n$項までの和を求めよ．
\[ a,\ b,\ 2a,\ a+b,\ 2b,\ 3a,\ 2a+b,\ a+2b,\ 3b,\ 4a,\ 3a+b,\ 2a+2b,\ a+3b,\ 4b,\ \cdots \]
を$\{c_n\}$とする．
(1)$c_{100}$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}c_n$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a=2,\ b=5$とする．上の数列$\{c_n\}$から，前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を$\{d_n\}$とするとき，$\{d_n\}$の初項から第$2n$項までの和を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第4問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第4問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．
\[ S_n=1-(2n^2+n-1)a_n \quad (n \geqq 1) \]
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{a_n}$を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2010年 第1問自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．