次の各問の$[　]$に数値を入れよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を初項が$-15$，公差が整数$d$の等差数列とする．このとき$a_4<0<a_5$ならば，$d=[1]$となり，
\[ \sum_{n=1}^5 (-1)^{n-1}na_n=[2] \]
である．
(2)$1$から$4$までの数字が，$1$つずつ書いてある$4$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出し，大きい方の数字を$a$とし，小さい方の数字を$b$とするとき，$2a-b$を得点とする．このとき，得点の期待値は，$[3]$であり，得点が$[3]$未満となる確率は，$[4]$である．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$かつ$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，
\[ 1-\tan^2 x=3 \cos (\pi-x)+\frac{2}{\cos (\pi-x)} \]
を満たすとき，
\[ \cos x=[5],\quad \sin x=[6] \]
である．

定数$a,\ b$に対し，3つの数$a,\ -2a,\ b$はこの順序で等比数列をなす．また，適当に並べかえると初項が1，公差が$d$の等差数列になる．このとき，$a,\ b,\ d$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，初項1，公差$\displaystyle \frac{5}{2}$の等差数列で，数列$\{b_n\}$は，初項2，公差$\displaystyle \frac{7}{4}$の等差数列である．このとき，次の設問に答えよ．

(1)ある$a_n$とある$b_m$が同じ値をとるものを小さい順に$c_1,\ c_2,\ c_3,\ \cdots$とする．このとき，最初からの3項$c_1,\ c_2,\ c_3$の値を求めよ．
(2)一般項$c_n$を$n$の式で表せ．

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とし，$a_5=108$とする．また，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_{11}>0$，$S_{12}<0$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$a$を$d$を用いて表せ．
(2)$d$の値の範囲を求めよ．
(3)$a_n<0$となる最小の$n$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項$200$，公差$d$の等差数列であり，$\{a_n\}$の第$15$項から第$20$項までの和が$309$であるとする．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$d$の値を求めよ．
(2)$a_n<0$となるような最小の自然数$n$を求めよ．また，$S_n$の最大値を求めよ．
(3)$b_n=S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定義される数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とし，$a_5=108$とする．また，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_{11}>0$，$S_{12}<0$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$a$を$d$を用いて表せ．
(2)$d$の値の範囲を求めよ．
(3)$a_n<0$となる最小の$n$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は次のように定められている．初項$a_1=0$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+1}=-a_n+\frac{1+(-1)^{n+1}}{2} \]
が成り立つ．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)$c$を定数として$b_n=(-1)^n(a_n+c)$とおく．$\{b_n\}$が等差数列になるためには$c$をどのように定めればよいか．$c$の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の第$2n$項までの$2$乗の和$S_{2n}={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_{2n}}^2$を求めよ．

第$5$項が$101$，第$10$項が$76$である等差数列がある．この数列の初項は$[　]$であり，初項から第$n$項までの和を最大にする$n$の値は$[　]$である．

数列$\{a_n\}$に対して初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和が，
\[ S_n=n^3-16n^2+8n+20 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるものとする．以下の問いに答えなさい．

(1)このとき$a_1=[$1$]$，$a_2=[$2$]$である．また，$a_n$の値が最小となるのは第$[$3$]$項であり，そのときの$a_n$の値は$a_n=[$4$]$である．
(2)$a_n$の値が負となる自然数$n$を，小さい方から順にすべて書きなさい．