数列$\{a_n\}$を初項$a_1=1$，公差が2の等差数列とし，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=1$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)4以上の自然数$n$に対して$S_{n+1}<2S_n$が成立することを証明せよ．

初項が$a$で公比が$r$の等比数列を$\{a_n\}$とし，初項が$b$で公比が$s$の等比数列を$\{b_n\}$とする．数列$\{x_n\}$を
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
(2)$x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．

以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が
\[ x_1=4, x_2=7, x_3=11, x_4=13 \]
となる場合を考える．

\mon[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
\mon[(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\mon[(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{27}{10}\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$で与えられる数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$b_n$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{\displaystyle \left( \frac{43}{2}-b_n \right)^2}+\frac{y^2}{\displaystyle \left( \frac{81}{10}+b_n \right)^2}=1$の面積を$S_n$で表すとき．$S_n$が最大になる自然数$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

数列$\{a_n\}$を，2でも3でも5でも割り切れない自然数を小さい順に並べて出来た数列とする．すなわち，$a_1=1,\ a_2=7,\ \cdots$である．このとき，

(1)第10項$a_{10}$を求めよ．
(2)第500項$a_{500}$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$8k$項までの和を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

数列$\{a_n\}$を，$2$でも$3$でも$5$でも割り切れない自然数を小さい順に並べて出来た数列とする．すなわち，$a_1=1,\ a_2=7,\ \cdots$である．このとき，

(1)第$10$項$a_{10}$を求めよ．
(2)第$500$項$a_{500}$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$8k$項までの和を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

有理数$r$について，次の2つの条件を考える．

$(ⅰ)$ 1，3，7のいずれかの数$p$と自然数$m$を用いて$\displaystyle r=\frac{p}{2^m}$と表される．
$(ⅱ)$ $r<1$

条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をともに満たすような有理数$r$の全体を大きい方から順に並べてできる数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$を考える．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$N$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$3N$項までの和$T_N$を$N$を用いて表せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{N \to \infty}T_N$を求めよ．

初項$1$，公差$2$の等差数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$をそれぞれ
\[ b_n = \frac{2n+1}{a_n}, \quad c_n= \log_3 b_n, \quad d_n = \sum_{k=1}^{n}c_k \]
で定める．このとき，
\[ d_n = \log_3 \left([カ]n+[キ]\right) \]
となる．さらに，$d_n$が整数となるような$n$を小さい順に$m$個並べて，その和を求めると，
\[ \frac{[ク]^{m+1}+[ケ]m+[コ]}{4}\]
となる．

以下の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．