「初項」について
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公立 高崎経済大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
公立 会津大学 2012年 第3問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が，
\[ S_n=n-2-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
であるとき，以下の空欄をうめよ．
(1)$a_1=S_1=[ ]$であり，$a_2=S_2-S_1=[ ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$の式で表すと，$a_{n+1}=[ ]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ ]$である．
\[ S_n=n-2-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
であるとき，以下の空欄をうめよ．
(1)$a_1=S_1=[ ]$であり，$a_2=S_2-S_1=[ ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$の式で表すと，$a_{n+1}=[ ]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ ]$である．
公立 福島県立医科大学 2012年 第4問自然数を自然数に移す関数$f(n)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{n}{2} & (n \text{が偶数のとき}) \\
n+1 & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right.$について，$f$が$m$を$n$に移すことを，$m \longmapsto \hspace{-9mm} {\phantom{\frac{1}{2}}}^f \hspace{3mm} n$と表す．例えば，
\[ 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{2.5mm} 1,\qquad 3 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 4 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 1 \]
である．$2$以上の自然数$n$を$f$で繰り返し移すとき，$1$に移るまでに必要な最小の移動回数を$a_n$とする．したがって，$a_2=1$，$a_3=3$である．$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{2n+1}$と$a_{2n+2}$をそれぞれ$a_{n+1}$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots \}$を次のように，第$n$群の項数が$2^{n-1}$になるように分ける．
\[ a_2 \;|\; a_3,\ a_4 \;|\; a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8 \;|\; a_9,\ a_{10},\ a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{14},\ a_{15},\ a_{16} \;|\; \cdots \]
(i) 第$n$群の初項を$n$を用いて表せ．
(ii) 第$n$群の総和を$S_n$とする．$S_{n+1}$を$n$と$S_n$を用いて表せ．また，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=2}^{2^n} a_k$を$n$を用いて表せ．
\displaystyle\frac{n}{2} & (n \text{が偶数のとき}) \\
n+1 & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right.$について，$f$が$m$を$n$に移すことを，$m \longmapsto \hspace{-9mm} {\phantom{\frac{1}{2}}}^f \hspace{3mm} n$と表す．例えば，
\[ 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{2.5mm} 1,\qquad 3 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 4 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 2 \longmapsto \hspace{-10mm} {\phantom{{2^2}^2}}^f \hspace{3mm} 1 \]
である．$2$以上の自然数$n$を$f$で繰り返し移すとき，$1$に移るまでに必要な最小の移動回数を$a_n$とする．したがって，$a_2=1$，$a_3=3$である．$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{2n+1}$と$a_{2n+2}$をそれぞれ$a_{n+1}$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots \}$を次のように，第$n$群の項数が$2^{n-1}$になるように分ける．
\[ a_2 \;|\; a_3,\ a_4 \;|\; a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8 \;|\; a_9,\ a_{10},\ a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{14},\ a_{15},\ a_{16} \;|\; \cdots \]
(i) 第$n$群の初項を$n$を用いて表せ．
(ii) 第$n$群の総和を$S_n$とする．$S_{n+1}$を$n$と$S_n$を用いて表せ．また，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=2}^{2^n} a_k$を$n$を用いて表せ．
公立 北九州市立大学 2012年 第1問初項が$5$で，初項から第$5$項までの和が$45$となる等差数列を$\{a_n\}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$の中から異なる$2$つの項を取り出して作った積すべての和$T_n$を求めよ．
(4)$a_2 \leqq b_2 \leqq a_3$，$a_6 \leqq b_4 \leqq a_7$，$a_7 \leqq b_5 \leqq a_8$を満たすすべての等差数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，数列$\{b_n\}$の初項と公差は自然数とする．
(5)数列$\{a_n\}$と$(4)$で求めたすべての数列$\{b_n\}$に共通に現れる数を小さい方から順に並べてできる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n$の中から異なる$2$つの項を取り出して作った積すべての和$T_n$を求めよ．
(4)$a_2 \leqq b_2 \leqq a_3$，$a_6 \leqq b_4 \leqq a_7$，$a_7 \leqq b_5 \leqq a_8$を満たすすべての等差数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，数列$\{b_n\}$の初項と公差は自然数とする．
(5)数列$\{a_n\}$と$(4)$で求めたすべての数列$\{b_n\}$に共通に現れる数を小さい方から順に並べてできる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
公立 北九州市立大学 2012年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ナ]$に適する数値，式を記せ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第2問$S_n$は数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和とする．第$n$項$a_n$と$S_n$は
\[ S_n+na_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．
\[ S_n+na_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2011年 第2問$S_n$は数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和とする．第$n$項$a_n$と$S_n$は
\[ S_n+na_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．
\[ S_n+na_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2011年 第2問$S_n$は数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和とする．第$n$項$a_n$と$S_n$は
\[ S_n+na_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．
\[ S_n+na_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_n$と$S_n$を$n$を用いて表せ．