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私立 北海学園大学 2012年 第5問等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．$S_4=1152$，$S_{10}=2640$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ．
(2)$a_n<100$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)$S_n$の最大値とそのときの$n$の値を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ．
(2)$a_n<100$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)$S_n$の最大値とそのときの$n$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第5問初項が$4$，公差が$8$の等差数列を，初項から順に，$2n$個の項が第$n$群に含まれるように分けていく．
$4,\ 12 \ | \ 20,\ 28,\ 36,\ 44 \ | \ 52,\ 60,\ 68,\ 76,\ 84,\ 92 \ | \ \cdots$
{\small 第$1$群} \qquad {\small 第$2$群} \qquad\qquad\qquad {\small 第$3$群}
たとえば，$60$はこの数列の第$3$群の小さい方から$2$番目の項である．ただし，縦線$|$は群の区切りを表し，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．
(1)第$n$群の最初の項と最後の項を，それぞれ$n$を用いて表せ．
(2)第$n$群の項の総和$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \frac{S_n}{n} \leqq 2012$を満たす最大の$n$を求めよ．
(3)$2012$は第何群の小さい方から何番目の項であるか答えよ．
$4,\ 12 \ | \ 20,\ 28,\ 36,\ 44 \ | \ 52,\ 60,\ 68,\ 76,\ 84,\ 92 \ | \ \cdots$
{\small 第$1$群} \qquad {\small 第$2$群} \qquad\qquad\qquad {\small 第$3$群}
たとえば，$60$はこの数列の第$3$群の小さい方から$2$番目の項である．ただし，縦線$|$は群の区切りを表し，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．
(1)第$n$群の最初の項と最後の項を，それぞれ$n$を用いて表せ．
(2)第$n$群の項の総和$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \frac{S_n}{n} \leqq 2012$を満たす最大の$n$を求めよ．
(3)$2012$は第何群の小さい方から何番目の項であるか答えよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．
私立 関西大学 2012年 第2問次の$[ ]$を数値でうめよ．
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$と表すとき，すべての自然数$n$について
\[ 3S_n=a_n+7 \cdot 3^n-6 \]
が成立するとする．このとき，$a_1=[$①$]$であり，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=[$②$]a_n+[$③$] \cdot 3^n \]
が成立する．いま，$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$とおくと，
\[ b_n=[$④$] \cdot ([$⑤$])^{n-1}+[$⑥$] \]
と表される．したがって，$a_n$が得られる．
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$と表すとき，すべての自然数$n$について
\[ 3S_n=a_n+7 \cdot 3^n-6 \]
が成立するとする．このとき，$a_1=[$①$]$であり，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=[$②$]a_n+[$③$] \cdot 3^n \]
が成立する．いま，$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n}$とおくと，
\[ b_n=[$④$] \cdot ([$⑤$])^{n-1}+[$⑥$] \]
と表される．したがって，$a_n$が得られる．
私立 東京理科大学 2012年 第3問$\{\theta_k\}$を初項$0$，交差$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の等差数列，$\{r_k\}$を初項$1$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，自然数$k$に対して，行列$A_k$，$B_k$を
\[ A_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\
r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\
-r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right) \]
とおく．$C_k=A_kA_{k+1}$，$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$C_k$を$k$を用いて表せ．
(2)$D_k$を$k$を用いて表せ．
(3)$m$を自然数とするとき，次の行列の和
\[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \]
を求めよ．
(4)$C_k^2D_k^2$を求めよ．
(5)次の行列の和
\[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \]
を$\left( \begin{array}{cc}
x_n & y_n \\
z_n & w_n
\end{array} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ．
ただし，必要ならば，実数$a (a>1)$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい．
\[ A_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\
r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\
-r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right) \]
とおく．$C_k=A_kA_{k+1}$，$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$C_k$を$k$を用いて表せ．
(2)$D_k$を$k$を用いて表せ．
(3)$m$を自然数とするとき，次の行列の和
\[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \]
を求めよ．
(4)$C_k^2D_k^2$を求めよ．
(5)次の行列の和
\[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \]
を$\left( \begin{array}{cc}
x_n & y_n \\
z_n & w_n
\end{array} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ．
ただし，必要ならば，実数$a (a>1)$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい．
私立 東京理科大学 2012年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}=4a_n+\left( \frac{1}{3} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$を考える．$\alpha$を定数として
\[ b_n=a_n+\alpha \left( \frac{1}{3} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと$\displaystyle \alpha=\frac{[ア]}{[イ][ウ]}$のとき，$\{b_n\}$は初項$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$，公比$[ク]$である等比数列となる．これより
\[ a_n=\frac{[ケ]}{[コ][サ]} \left( [シ]^n-\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^n \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(2)$a_1=1$である数列$\{a_n\}$が$5^{n+1}a_{n+1}+24a_{n+1}a_n-5^na_n=0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしているとき
\[ a_n=\frac{[ソ]^{n-1}}{[タ] \cdot [チ][ツ]^{n-1}-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(1)$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}=4a_n+\left( \frac{1}{3} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$を考える．$\alpha$を定数として
\[ b_n=a_n+\alpha \left( \frac{1}{3} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと$\displaystyle \alpha=\frac{[ア]}{[イ][ウ]}$のとき，$\{b_n\}$は初項$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$，公比$[ク]$である等比数列となる．これより
\[ a_n=\frac{[ケ]}{[コ][サ]} \left( [シ]^n-\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^n \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(2)$a_1=1$である数列$\{a_n\}$が$5^{n+1}a_{n+1}+24a_{n+1}a_n-5^na_n=0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしているとき
\[ a_n=\frac{[ソ]^{n-1}}{[タ] \cdot [チ][ツ]^{n-1}-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
私立 広島工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
私立 昭和大学 2012年 第5問数列$\{a_n\} (n \geqq 1)$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^3-49n^2+409n-351$で与えられている．以下の各問に答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n (n \geqq 2)$を$n$の式で表せ．
(3)$\{a_n\} (n \geqq 1)$のうちで，$a_n$の値が最小となる$n$と，そのときの$a_n$の値を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n (n \geqq 2)$を$n$の式で表せ．
(3)$\{a_n\} (n \geqq 1)$のうちで，$a_n$の値が最小となる$n$と，そのときの$a_n$の値を求めよ．
私立 東北工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
私立 昭和大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．
(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．
(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．
(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．
(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．
(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．
(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．