「初項」について
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国立 岩手大学 2012年 第3問初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．
国立 大分大学 2012年 第1問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす．
(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．
(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．
国立 室蘭工業大学 2012年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(1)定数$p,\ q$を用いて$\displaystyle a_n=p \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\[ a_n=\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(1)定数$p,\ q$を用いて$\displaystyle a_n=p \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)+q \left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$と表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2012年 第2問$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．
国立 愛媛大学 2012年 第2問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が条件
\[ S_n=4n-3a_n \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle a_n>\frac{35}{9}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$として計算してよい．
\[ S_n=4n-3a_n \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle a_n>\frac{35}{9}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$として計算してよい．
国立 大分大学 2012年 第1問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす．
(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．
(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．
国立 大分大学 2012年 第1問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項目までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}a_n-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたす．
(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．
(1)$a_1$を求めなさい．
(2)$a_2$を求めなさい．
(3)一般項$a_n$を求めなさい．
私立 早稲田大学 2012年 第2問初項を$a_0 \geqq 0$とし、以下の漸化式で定まる数列$\left\{a_n\right\}_{n=0,1,\cdots}$を考える．
\[ a_{n+1} = a_n - \left[\sqrt{a_n}\,\right] \qquad (n \geqq 0) \]
ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．
(1)$a_0=24$とする．このとき，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の整数とし，$a_0=m^2$とする．このとき，$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ．
(3)$m$を$2$以上の整数，$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし，$a_0=m^2-p$とする．このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ．さらに，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
\[ a_{n+1} = a_n - \left[\sqrt{a_n}\,\right] \qquad (n \geqq 0) \]
ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．
(1)$a_0=24$とする．このとき，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の整数とし，$a_0=m^2$とする．このとき，$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ．
(3)$m$を$2$以上の整数，$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし，$a_0=m^2-p$とする．このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ．さらに，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2012年 第5問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．$S_n = 4n-a_n$が成り立つとき，次の設問に答えよ．
(1)初項$a_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)この数列の一般項を求めよ．
(1)初項$a_1$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)この数列の一般項を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第2問数列$\{a_k\}$は，すべての自然数$n$に対して，
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{3}{8}-\frac{3^n}{n+2} \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)$k \geqq 2$のとき，$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)数列$\{b_k\}$を，すべての自然数$k$に対して，$\displaystyle b_k=\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k$により定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を$n$の式で表せ．
\[ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{3}{8}-\frac{3^n}{n+2} \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)$k \geqq 2$のとき，$a_k$を$k$の式で表せ．
(3)数列$\{b_k\}$を，すべての自然数$k$に対して，$\displaystyle b_k=\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k$により定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を$n$の式で表せ．