次のような群にわかれた数列がある．
\[ (1),\ (2,\ 4),\ (5,\ 7,\ 9),\ (10,\ 12,\ 14,\ 16),\ \cdots \]
（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$群の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2$，項数$n$の等差数列である．）

このとき次の問に答えよ．

(1)第$n$群に含まれる項の総和は$[カ]n^3+[キ]n^2+[ク]n$である．
(2)第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は
\[ \frac{1}{[ケ]} \left( [コ]n^4+[サ]n^3+[シ]n^2+[ス]n \right) \]
である．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．

次の空欄$[タ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

次のような整数の数列$\{a_n\}$がある．
$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-2,\ n-1,\ n,\ n-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$
ここで，$a_1=1$だけからなる群を第$1$群，$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする．一般に，$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ k-1,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする．
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$[タ]$個となる．
(2)第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$[チ]$となる．
(3)整数$7$が，数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$群に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$[ツ]$回となる．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．
(4)数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$[テ]$群に属し，その第$[テ]$群の先頭から$[ト]$番目の項である．

初項$a_1=0$，漸化式$a_{n+1}=a_n+2n-15$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．また，数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n>0$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$S_n>a_n$を満たす最小の$n$を求めよ．
(5)数列$\{T_n\}$の一般項を$T_n=S_n-n \cdot a_n$によって定める．$T_n$が，ある数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和となるとする．その数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

初項$6$，公差$3$の等差数列を$\{a_n\}$とし，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$を一般項が次の式で定められる数列とする．

$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{b_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n c_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき，以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n$は実数$s,\ t$を用いて$\displaystyle c_n=\frac{s}{n}+\frac{t}{n+3}$と表せる．$s,\ t$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_n$を求めよ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．

以下の問に答えよ．

(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．

\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．

(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．

$n \geqq 4$とする．$(n-4)$個の1と4個の$-1$からなる数列$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．
(2)数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1a_2 \cdots a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_k\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．

初項が$a_1=-35$である数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．$\{b_n\}$が等差数列で，その初項は$b_1=-19$，公差は4であるとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対し，$b_n$を$n$で表せ．
(2)自然数$n$に対し，$a_n$を$n$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第24項までの和を求めよ．