「初項」について
タグ「初項」の検索結果
（13ページ目：全248問中121問～130問を表示）
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第5問公比が$1$より大きい等比数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，数列$\{b_n\}$は，初項が$3$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たす．$a_2=18$，$S_3=78$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2b_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2b_k$を求めよ．
私立 福岡大学 2013年 第5問数列$\{a_n\}$は第$2$項が$7$，第$10$項が$23$の等差数列である．初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=[ ]$である．また，$\displaystyle b_n=\frac{1}{S_n+3}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$の値は$[ ]$である．
私立 福岡大学 2013年 第6問数列$3,\ 5,\ 8,\ 12,\ 17,\ 23,\ \cdots$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=[ ]$である．また，$T_n=1+3x^2+5x^4+\cdots +(2n-1)x^{2n-2}$とする．$n \geqq 2$のとき，$(1-x^2)^2 T_n$を求めると，$(1-x^2)^2 T_n=[ ]$である．
私立 福岡大学 2013年 第3問第$2$項が$\displaystyle \frac{3}{4}$，第$5$項が$48$であるような等比数列の一般項を求めると$a_n=[ ]$である．また，初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$16S_n+1 \geqq 10000$となる最小の整数$n$を求めると$n=[ ]$である．
私立 南山大学 2013年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$x$の整式$x^3+3mx^2+2(m^2-1)x-4$が$(x+2)^2$で割り切れるとする．このとき，$m$の値は$m=[ア]$であり，商は$[イ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
x+1 & 2 \\
-5 & y-2
\end{array} \right)$がある．$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たすとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ウ]$である．また，$A$が逆行列をもたないような$2$つの正の整数$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$a$は$1$ではない実数，$k$は$3$以上の整数とする．初項が$a$，第$2$項が$1$の等差数列があり，その第$k$項を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表すと$b=[オ]$である．この$b$に対して，初項が$1$，第$2$項が$a$，第$3$項が$b$の数列が等比数列になるとき，$a$を$k$で表すと$a=[カ]$である．
(4)曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(2,\ \log 2)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$とし，$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$m$の方程式を求めると$y=[キ]$である．また，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めると$S=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が$6$となる確率は$[ケ]$であり，出た目の最大値と最小値の組が$(6,\ 1)$となる確率は$[コ]$である．
(1)$x$の整式$x^3+3mx^2+2(m^2-1)x-4$が$(x+2)^2$で割り切れるとする．このとき，$m$の値は$m=[ア]$であり，商は$[イ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
x+1 & 2 \\
-5 & y-2
\end{array} \right)$がある．$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たすとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ウ]$である．また，$A$が逆行列をもたないような$2$つの正の整数$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$a$は$1$ではない実数，$k$は$3$以上の整数とする．初項が$a$，第$2$項が$1$の等差数列があり，その第$k$項を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表すと$b=[オ]$である．この$b$に対して，初項が$1$，第$2$項が$a$，第$3$項が$b$の数列が等比数列になるとき，$a$を$k$で表すと$a=[カ]$である．
(4)曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(2,\ \log 2)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$とし，$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$m$の方程式を求めると$y=[キ]$である．また，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めると$S=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が$6$となる確率は$[ケ]$であり，出た目の最大値と最小値の組が$(6,\ 1)$となる確率は$[コ]$である．
私立 北海道薬科大学 2013年 第2問次の各設問に答えよ．
(1)連立方程式
$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$
を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．
(1)連立方程式
$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$
を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．
私立 金沢工業大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．
(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．
私立 北里大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．