初項$3$，公比$2$の等比数列を$\{a_n\}$とし，
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．

(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=2a_n+n^2 \]
で与えられるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=2a_n+n^2 \]
で与えられるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=2,\ b_1=2,\ a_{n+1}=6a_n+2b_n,\ b_{n+1}=-2a_n+2b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

初項から第$n$項までの和が$S_n=2n^2-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．また，$a_n$は等差数列になることを示し，初項$a$と公差$d$を求めよ．
(2)和$a_2+a_4+a_6+\cdots +a_{2n}$を求めよ．
(3)和$(-1)a_1+(-1)^2a_2+(-1)^3a_3+\cdots +(-1)^{2n}a_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}S_i \leqq -5$が，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して成り立つことを示せ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に答えよ．

(1)$a=1,\ d=2$とする．

(i) $n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．
(ii) $\log_{10} \{S_a(1000)\}$の値を求めなさい．
(iii) $10<S_a(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$b_3=\sqrt[5]{4},\ b_7=\sqrt[5]{64}$とする．

(i) $a$と$d$の値を求めなさい．
(ii) $b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．
(iii) $n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい．
\mon[$\tokeishi$] $b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．

(3)自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}$，$v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}$，$y=uv$，$0<a<2\pi$，$d=\pi$とする．

(i) $u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ii) $v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(iii) $y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

数列$\{a_n\}$は$a_n>0$かつ$a_1=3$であるとする．初項から第$n$項までの和$S_n$について，
\[ S_{n+1}+S_n=\frac{1}{3}(S_{n+1}-S_n)^2 \]
が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_2$と$S_3$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の間に次の漸化式が成立する．
\[ x_{n+1}=2x_n,\quad y_{n+1}=3x_n+y_n,\quad z_{n+1}=x_n-2y_n+3z_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$(x_1,\ y_1)=(2,\ 0)$に対して，一般項$x_n$と$y_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$が定数$c,\ d,\ r,\ s$に対して，関係$a_{n+1}=ra_n+cs^n+d$で定義されるとき，$f_n=ps^n+q \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が次式を満たすように定数$p$と$q$を定めよ．ただし，$r \neq s$，$r \neq 0,\ 1$，$s \neq 0,\ 1$とする．
\[ a_{n+1}+f_{n+1}=r(a_n+f_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(3)初項$(x_1,\ y_1,\ z_1)=(2,\ 0,\ 0)$に対して，一般項$z_n$を求めよ．

$3$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$が
\[ \begin{array}{lll}
a_{n+1}=-b_n-c_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=-c_n-a_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
c_{n+1}=-a_n-b_n & & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]
および$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c$を満たすとする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$p_n=a_n+b_n+c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{p_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$q_n=(-1)^n \{(a_n)^2+(b_n)^2+(c_n)^2\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられる数列$\{q_n\}$の初項から第$2n$項までの和を$T_n$とする．$a+b+c$が奇数であれば，すべての自然数$n$に対して$T_n$が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ．

公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．