以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

以下の問いに答えなさい．

(1)下図のような口の半径が$10 \, \mathrm{cm}$，高さが$30 \, \mathrm{cm}$の口の開いた逆円すい形の容器を，口が水平になるように置き，水を入れた．水面の面積が$36 \pi \, \mathrm{cm}^2$であるとき，水の体積は$[$1$][$2$][$3$] \pi \, \mathrm{cm}^3$であり，容器の内面で水に接していない部分の面積は，水に接している部分の面積の$\displaystyle \frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$倍である．
（図は省略）
(2)次の数列を考える．
\[ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \cdots \]
この数列の第$670$項は$\displaystyle \frac{1}{[$7$][$8$][$9$]}$，初項から第$2182$項までの和は
\[ \frac{\kakkofour{$10$}{$11$}{$12$}{$13$}}{[$14$][$15$][$16$]} \]
である．
(3)次の連立方程式を満たす実数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-9x^2+4x+3y^2=0 \\
3xy-5y=0
\end{array} \right. \]

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される．ここで，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，$b_1=[ア]$，$b_2=[イ]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は，
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる．初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は，
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は，
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される．
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける．つまり，第$1$群は$1$のみからなる．このとき，第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので，第$1$群から第$n-1$群までの項の数は，
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である．したがって，第$n$群の最初の項の値は，
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である．また，第$n$群に含まれる数の総和は，
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

$\{a_n\}$を次の条件によって定められる数列とする．
\[ a_1=1,\quad \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

(1)$a_{30}$の値は$[エ]$であり，$S_{40}$の値は$[オ]$である．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{S_n}{2}+\frac{2}{S_n}$とし，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．このとき，$T_{50}$の値は$[カ]$である．

数列$\{\beta_n\}$の階差数列が，初項$3$，公差$2$の等差数列であるとし，$\beta_1=1$とする．$2$次方程式
\[ x^2-a_nx+b_n=0 \]
の$2$つの解が$\beta_n,\ \beta_{n+1}$となるとき，次の問に答えよ．

(1)$b_2=[ナニ]$である．
(2)$a_9=[ヌネノ]$である．
(3)$x^2-a_nx+b_n$の最小値を$M_n$とすると，数列$\{M_n\}$の階差数列は，初項$[ハヒ]$，公差$[フヘ]$の等差数列となる．

数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が
\[ S_n=2a_n+n^2-n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．

(1)$a_1$と$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}-2a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$b_n=a_{n+1}-a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となることを示し，初項$b_1$と公比を求めよ．
(4)$a_n$を$n$の式で表せ．

次の空欄$[ア]$から$[ク]$にあてはまる数や式を書きなさい．

初項$2$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，初項$1$，公差$4$の等差数列$\{b_n\}$がある．このとき，それぞれの一般項を$n$を用いて表せば，
\[ a_n=[ア],\quad b_n=[イ] \]
である．
また，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$に共通に含まれる項を順に並べると，次のような数列$\{c_n\}$が得られる．
\[ c_1=5,\quad c_2=[ウ],\quad c_3=[エ],\quad \cdots \]
したがって，数列$\{c_n\}$の一般項を$n$を用いて表せば，
\[ c_n=[オ] \]
となる．
また，数列$\{c_n\}$の第$p$項を$c_p$とするとき，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$はともに項$c_p$を含む．よってそれぞれの項番号を自然数$p$を用いて表せば，数列$\{a_n\}$の場合は，
\[ n=[カ] \]
であり，数列$\{b_n\}$の場合は，
\[ n=[キ] \]
となる．よって，これらの項番号の差の絶対値を自然数$p$を用いて表せば，$[ク]$となる．

数列$a_n=(50-2n)2^n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n<0$となる最小の$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$S_n$が次の式で与えられるとする．
\[ S_n=a_n+2n^2-n-1 \]
また，数列$\{b_n\}$は次の条件によって与えられるとする．
\[ b_1=-2,\quad b_{n+1}=2b_n+a_n \]
以下の問題に答えよ．

(1)$n$が$2$以上の自然数のとき，$S_{n-1}$を$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$が$2$以上の自然数のとき，不等式$b_n>0$を証明せよ．
(5)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．$T_n$を$n$の式で表せ．