「初項」について
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私立 東北学院大学 2014年 第2問初項$1$，公比$2$の等比数列を，次のように第$n$群が$n$個の数から成るように分ける．
\[ (1),\ (2,\ 2^2),\ (2^3,\ 2^4,\ 2^5),\ (2^6,\ 2^7,\ 2^8,\ 2^9),\ \cdots \]
このとき以下の問いに答えよ．
(1)$2^{30}$は第何群に属するかを求めよ．
(2)第$n$群の最初の項を求めよ．
(3)第$n$群に属する項の総和を求めよ．
\[ (1),\ (2,\ 2^2),\ (2^3,\ 2^4,\ 2^5),\ (2^6,\ 2^7,\ 2^8,\ 2^9),\ \cdots \]
このとき以下の問いに答えよ．
(1)$2^{30}$は第何群に属するかを求めよ．
(2)第$n$群の最初の項を求めよ．
(3)第$n$群に属する項の総和を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられている．一般項を求めると$a_n=[コ]$である．
(2)等比数列において，初項から第$n$項までの和が$27$，初項から第$2n$項までの和が$36$であった．第$2n+1$項から第$3n$項までの和は$[サ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられている．一般項を求めると$a_n=[コ]$である．
(2)等比数列において，初項から第$n$項までの和が$27$，初項から第$2n$項までの和が$36$であった．第$2n+1$項から第$3n$項までの和は$[サ]$である．
私立 福岡大学 2014年 第6問数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．初項から第$n$項までの和が$n^2+2n$であるとき，一般項$a_n=[ ]$であり，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_na_{n+1}}=[ ]$である．
私立 近畿大学 2014年 第3問一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
私立 千葉工業大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．
(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．
(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第3問数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n(a_n+2) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されるとき，次の空所を埋めよ．
(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．
$\{a_n\}$を，初項$1$，公差$d$の等差数列とし，
\[ P_n=r^{a_1} \cdot r^{a_2} \cdot \cdots \cdot r^{a_n} \]
と定義する．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数である．$P_n$が$P_3=P_9$を満たしているならば，公差$d=[ア]$である．このとき，$P_n$は，$n=[イ]$のとき，最大値$[ウ]$をとる．また，$P_n<1$となる最小の$n$は，$n=[エ]$である．
$\{a_n\}$を，初項$1$，公差$d$の等差数列とし，
\[ P_n=r^{a_1} \cdot r^{a_2} \cdot \cdots \cdot r^{a_n} \]
と定義する．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数である．$P_n$が$P_3=P_9$を満たしているならば，公差$d=[ア]$である．このとき，$P_n$は，$n=[イ]$のとき，最大値$[ウ]$をとる．また，$P_n<1$となる最小の$n$は，$n=[エ]$である．
私立 愛知工業大学 2014年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．
私立 中京大学 2014年 第1問以下の各問で，$[ ]$にあてはまる数値または記号を求めよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$が点$(0,\ 9)$を通るとき，
\[ c=[ア] \]
である．さらに，この放物線が点$(3,\ 3)$を通り，放物線の頂点が直線$16x-4y=29$上にあるとき，
\[ (a,\ b)=([イ],\ -[ウ]) \ \text{または} \ \left( \frac{[エ][オ]}{[カ]},\ -\frac{[キ][ク]}{3} \right) \]
である．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ [ア]-\sqrt{2} \]
である．また，この内接円に外接し，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$に接する円の半径は
\[ [イ][ウ]-[エ] \sqrt{2} \]
である．
(3)初項が$a$（$a$は自然数），公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$と，$a_n$を$9$で割った余りの数列$\{b_n\}$があり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$a=1$とするとき，$S_n>2014$となる最小の$n$は
\[ [ア][イ][ウ] \]
であり，
\[ S_{[ア][イ][ウ]}=20 [エ][オ] \]
である．また，$S_n$がちょうど$2014$となる$a$の最小値は
\[ [カ] \]
である．
(4)関数$\displaystyle f(\theta)=2(\sin \theta+\cos \theta)^3-9(\sin \theta+\cos \theta) \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，
\[ f \left( \frac{\pi}{6} \right)=-[ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \]
となる．また，
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[エ][オ]}$のとき，最小値$-[カ] \sqrt{[キ]}$
をとり，
$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{[ク]}$のとき，最大値$[ケ]$
をとる．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$が点$(0,\ 9)$を通るとき，
\[ c=[ア] \]
である．さらに，この放物線が点$(3,\ 3)$を通り，放物線の頂点が直線$16x-4y=29$上にあるとき，
\[ (a,\ b)=([イ],\ -[ウ]) \ \text{または} \ \left( \frac{[エ][オ]}{[カ]},\ -\frac{[キ][ク]}{3} \right) \]
である．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ [ア]-\sqrt{2} \]
である．また，この内接円に外接し，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$に接する円の半径は
\[ [イ][ウ]-[エ] \sqrt{2} \]
である．
(3)初項が$a$（$a$は自然数），公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$と，$a_n$を$9$で割った余りの数列$\{b_n\}$があり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$a=1$とするとき，$S_n>2014$となる最小の$n$は
\[ [ア][イ][ウ] \]
であり，
\[ S_{[ア][イ][ウ]}=20 [エ][オ] \]
である．また，$S_n$がちょうど$2014$となる$a$の最小値は
\[ [カ] \]
である．
(4)関数$\displaystyle f(\theta)=2(\sin \theta+\cos \theta)^3-9(\sin \theta+\cos \theta) \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，
\[ f \left( \frac{\pi}{6} \right)=-[ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \]
となる．また，
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[エ][オ]}$のとき，最小値$-[カ] \sqrt{[キ]}$
をとり，
$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{[ク]}$のとき，最大値$[ケ]$
をとる．
私立 北海学園大学 2014年 第5問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_7=20,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}, \]
数列$\{b_n\}$は，
\[ b_1=1,\quad b_2=9,\quad b_{n+2}-2a_{n+2}=b_{n+1}+2a_n \]
を満たす．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$b_{n+2}-b_{n+1}$を$a_{n+1}$で表せ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{c_k\}$は$\displaystyle c_k={a_k}^2-\frac{3}{2}b_k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす数列とし，$S_n$を$\{c_k\}$の初項から第$n$項までの和とする．$S_{100}$を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_7=20,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}, \]
数列$\{b_n\}$は，
\[ b_1=1,\quad b_2=9,\quad b_{n+2}-2a_{n+2}=b_{n+1}+2a_n \]
を満たす．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$b_{n+2}-b_{n+1}$を$a_{n+1}$で表せ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{c_k\}$は$\displaystyle c_k={a_k}^2-\frac{3}{2}b_k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす数列とし，$S_n$を$\{c_k\}$の初項から第$n$項までの和とする．$S_{100}$を求めよ．