感染症の流行の初期では，時刻$t (t \geqq 0)$における感染者数$n_{\, t}$は指数関数$n_{\, t}=n_{\, 0} a^t$で表される．ここで，$n_{\, 0}$は時刻$t=0$における感染者数，$a$は正の定数である．ある感染症では，$n_{\, 0}=2$で，$t=2$のとき感染者数は$5$人であった．$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}5=0.699$として，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)感染者数が初めて$100$人を超える時刻$t$を求めよ．ただし，答えは整数で求めよ．

$2$つの物体$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が平面上をそれぞれ一定の速度$u,\ v$（$\mathrm{km}/$時）で$\mathrm{A}$は真東に，$\mathrm{B}$は真北に移動している．最初，$2$つの物体間の距離は$10 \, \mathrm{km}$であった．$1$時間後，その距離は$4 \, \mathrm{km}$となり，さらに$1$時間後は$12 \, \mathrm{km}$となった．$x$軸，$y$軸の正の方向をそれぞれ真東，真北として座標軸をとるとき，以下の問に答えよ．

(1)$x$軸，$y$軸上に，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の初期の位置をそれぞれ$(x,\ 0)$，$(0,\ y)$（単位は$\mathrm{km}$）として，最初，$1$時間後，$2$時間後の$\mathrm{AB}$間の距離の$2$乗を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(2)$3$時間後の両物体間の距離を$Z$とし，$Z^2$を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(3)$3$時間後の両物体間の距離を求めよ．
(4)両物体が平面上で衝突しないことを示せ．

箱$\mathrm{A}$には$1$から$9$までの数が書かれた札が$9$枚，箱$\mathrm{B}$には$0$から$9$までの数が書かれた札が$10$枚入っている．今，それぞれの箱から$1$枚ずつ札を取り出して$2$桁の数を作る．ただし，箱$\mathrm{A}$から取り出した札を十の位，箱$\mathrm{B}$から取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，下図のような数直線を考え，点$\mathrm{Q}$が初期状態で$3$の位置にあるものとする．$2$桁の数が$3$の倍数の場合は数直線上の点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$移動し，それ以外の場合は正の方向に$1$移動するものとして，以下の問いに答えよ．

(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）