食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある．これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える．食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として，この操作を$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

(1)$x_1$は$[アイ]$である．

(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．

袋$\mathrm{A}$には白玉$6$個と赤玉$3$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$4$個と赤玉$2$個がそれぞれ入っている．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)袋$\mathrm{A}$から$2$個の玉を同時に取り出すとき，$2$個とも同じ色の玉が出る確率は$\displaystyle \frac{[$8$]}{[$9$]}$である．
(2)袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ玉を取り出すとき，違う色の玉が出る確率は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(3)袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出し，色を調べてから袋$\mathrm{A}$に戻す．この試行を$4$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は白玉が出る確率は$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(4)袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜる．次に，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$に入っている白玉と赤玉の個数が初めと変わらない確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．

初めに赤玉$2$個と白玉$2$個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す．

(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．

(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．

さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．

さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．

さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．

数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．試行を$n$回繰り返した後に，石が点$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率を$P_n(k)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$n=6$のときの確率$P_6(k) (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$をそれぞれ求めよ．
(2)石が移動した先の点に印をつける（点$1$には初めから印がついているものとする）．試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，$P_n(3)$を求めよ．

数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．また，石が移動した先の点に印をつけていく（点$1$には初めから印がついているものとする）．このとき，次の問に答えよ．

(1)試行を$6$回繰り返した後に，石が点$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率をそれぞれ求めよ．
(2)試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3)試行を$n$回（$n \geqq 1$）繰り返した後に，ちょうど$3$つの点に印がついている確率を求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また$(1)$，$(3)$に答えなさい．

以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．

(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．

$1,\ 2,\ 3$の数字が書かれた$3$つの玉が，横一列に並んでいる．この列に対して，次の試行を考える．

（試行）：$2$つの玉を無作為に選び，その$2$つの玉について，左側の玉に書かれた数が右側の玉に書かれた数より小さければ，玉を入れ替える．そうでなければ，入れ替えない．

初めに，左から順に$1,\ 2,\ 3$の玉が並んでいるとする．

(1)$1$回の試行で，左から順に$3,\ 2,\ 1$の玉が並ぶ確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返した後に，左から順に$3,\ 2,\ 1$の玉が並んでいる確率を求めよ．