次の問いに答えなさい．

$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

放物線$y=x^2-8x+15$と直線$y=-2x+4$がある．放物線上を動く点を$\mathrm{P}$とし，直線の$x$切片を点$\mathrm{A}$，$y$切片を点$\mathrm{B}$とした場合，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積$S$の最小値を求めよ．

$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．

(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．

$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$（ただし$t \neq 0$）に対して，$C$の$\mathrm{P}$での接線を$m$，$\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$v$とする．直線$m$に関して$v$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．

$2$つの円
\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1:x^2+y^2=5, \\
C_2:x^2+y^2-8x+6y=0
\end{array} \right. \]
について，次の設問に答えよ．

(1)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点を通る直線の$y$切片を求めよ．
(2)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点と$C_2$の中心$\mathrm{O}_2$を通る円$C_3$の方程式を求めよ．

$a$を実数とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & 3 \\
-2 & -1
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-1 & -2
\end{array} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分が等しくなるような$a$の値を求めよ．
(2)$a$を(1)で求めた値とするとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(3)$a$を(1)で求めた値とするとき，$A^n$が表す$1$次変換によって，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{Q}(1,\ -1)$と$\mathrm{R}(0,\ 2)$とが移る$2$点を通る直線を$L_n$とおく．$L_n$の$y$切片を$y_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．

曲線$C:y=x^2-4x+7$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2-4a+7)$における$C$の接線を$\ell_1$とする．また，$C$と$y$軸および$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell_1$の方程式を$a$で表せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a=3$とする．正の$y$切片を持ち，$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$，$\ell_2$および$y$軸で囲まれた三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}S$であるとき，$\ell_2$の方程式を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)初項$1$，公比$2$の等比数列の初項から第$10$項までの和は$\kakkofour{ア}{イ}{ウ}{エ}$である．
(2)直線$x+2y+3=0$に垂直で点$(1,\ 3)$を通る直線の傾きを$m$，$y$切片を$b$とするとき
\[ m=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(3)$2$次方程式$3x^2-(3 \sqrt{2}+2)x+3 \sqrt{2}-1=0$の解は
\[ x=[キ],\quad \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}-[コ]}{[サ]} \]
である．
(4)不等式$|2x-5| \leqq 4$の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(5)曲線$y=x^3$の$x=2$における接線は，$y=[タチ]x-[ツテ]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(2,\ 0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1)$のとき，
\[ |\overrightarrow{a}|=[ト],\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{[ナ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ニ] \]
である．

座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 6)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{6}{5},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(6,\ 0)$とする．$2$つの半直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$と接する$2$次曲線を
\[ y=ax^2+bx+c \]
とし，$a$を$c$で表すと，$a=[ク]$である．

この$2$次曲線のうち点$(4,\ 1)$を通る曲線は$2$つある．このうち$y$切片の小さい方の$2$次曲線は
\[ y=[ケ]x^2+[コ]x-[サ] \]
であり，この曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積は$[シ]$である．