「切り口」について
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国立 富山大学 2010年 第3問$xyz$空間内の6つの平面$x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1,\ z=0,\ z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する点全体でできる立体を$Q$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．
(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第4問$xyz$空間において，2点P$(1,\ 0,\ 1)$，Q$(-1,\ 1,\ 0)$を考える．線分PQを$x$軸の周りに1回転して得られる曲面を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1)曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．
(1)曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．