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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第6問
ある人が破産したとき,すなわち,借りているお金の一部分しか返すことができなくなったとき,その人の財産(現在残っているものをお金にしたもの)の総額$A$を$n$人の債権者(お金を貸した人)にどう分配するかについて考える.債権者には債権額(貸したお金の額)の少ない順に番号が振られており,第$i$番目の債権者の債権額を$B_i$とすると,$B_i<B_{i+1} (i=1,\ \cdots,\ n-1)$が成り立っている.また,$\displaystyle B=\sum_{i=1}^n B_i$としたとき,$A<B$である.以下では$A=B$のときを含めて,第$i$番目の債権者の分配額$X_i$を,$B_i$の状況に応じて,次のルールに従って決める.


\mon[ケース$1$:] $\displaystyle A \leqq \frac{n}{2}B_1$のときは,$\displaystyle X_i=\frac{1}{n}A (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.
\mon[ケース$2$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B-\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
\displaystyle\frac{1}{2}B_k+\frac{1}{n-k} \left\{ A-\frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k) \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$3$:] $1 \leqq k \leqq n-1$に対して
\[ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k+1}^n (B_j-B_{k+1}) \leqq A \leqq \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_{k}) \]
のときは
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}B_i & (i=1,\ \cdots,\ k) \\
B_i-\displaystyle\frac{1}{2}B_k-\frac{1}{n-k} \left\{ \frac{1}{2}B+\frac{1}{2} \sum_{j=k}^n (B_j-B_k)-A \right\} & (i=k+1,\ \cdots,\ n)
\end{array} \right. \]
とする.
\mon[ケース$4$:] $\displaystyle B-\frac{n}{2}B_1 \leqq A$のときは,$\displaystyle X_i=B_i-\frac{1}{n}(B-A) (i=1,\ \cdots,\ n)$とする.


(1)$n=2,\ B_1=60,\ B_2=180$としたとき,$A$が
\[ [$85$][$86$][$87$] \leqq A \leqq [$88$][$89$][$90$] \]
の範囲ならば,$X_1=30$となる.また,$X_2$が$X_1$の$4$倍となるのは,$A$の値が$2$通りあり,小さい順に$[$91$][$92$][$93$]$と$[$94$][$95$][$96$]$の場合である.
(2)$n=3,\ B_1=60,\ B_2=90,\ B_3=180$としたとき,$A=100$ならば,$X_2=[$97$][$98$][$99$]$,$X_3=[$100$][$101$][$102$]$であり,$A=220$ならば,$X_2=[$103$][$104$][$105$]$,$X_3=[$106$][$107$][$108$]$である.
昭和薬科大学 私立 昭和薬科大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき,$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと,$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である.
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである.ただし,$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする.
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき,$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$,$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である.
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$,$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して,直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$,直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である.
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2014年 第1問
以下の問いの空欄$[ア]$~$[ス]$に適する数値,式などを記せ.

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり,この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき,この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である.この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると,三角形の面積は$[キ]$である.
(3)同じ$2$つの箱と,同じ$4$つの球がある.$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである.また,大小の$2$つの箱と,$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき,すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである.ただし,片方の箱のみに球が入っている場合も含む.
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき,$x^2+y^2$の値は$[コ]$,$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる.
(5)大小の$2$個のさいころを投げ,出た目が同じ場合は$10$点,大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点,それ以外の場合には得点は得られないとするとき,点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で,得点の期待値は$[ス]$点である.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2012年 第3問
品物の分配に関する次の問いに答えよ.

(1)異なる$3$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$ $2$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
(2)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人に,$\mathrm{A}$に$3$個,$\mathrm{B}$に$2$個,$\mathrm{C}$に$2$個分ける方法は何通りあるか求めよ.
(3)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2012年 第3問
品物の分配に関する次の問いに答えよ.

(1)異なる$3$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$ $2$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
(2)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人に,$\mathrm{A}$に$3$個,$\mathrm{B}$に$2$個,$\mathrm{C}$に$2$個分ける方法は何通りあるか求めよ.
(3)異なる$7$個の品物を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ $3$人が少なくとも$1$個の品物をもらうように分ける方法は何通りあるか求めよ.ただし,品物は$1$つも残らないように分けるものとする.
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「分配」とは・・・

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