次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．

あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している$1$個が，$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，$2$個とも生存している確率が$p$，死滅している確率が$1-p$であるという．このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき，$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．