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国立 長崎大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
国立 長崎大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
国立 長崎大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）
国立 長崎大学 2015年 第4問実数$x \neq 1$について定義される関数
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第2問$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=\frac{n \left\{ 1+{(-1)}^{n+1} \right\}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まるものとして，次の各問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$を
\[ b_n=a_{2n-1},\quad c_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} {(-1)}^n a_n$を求めよ．