次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

$F(x),\ f(x),\ g(x)$は関数である．次の問いに答えよ．

(1)$0<a \leqq \pi$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．

(i) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする．$f(x)$を求めよ．
(ii) $f(x)$は$(ⅰ)$で求めた関数である．$g(x)$は，$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし，$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする．このとき，開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように，$a$の値の範囲を定めよ．

(2)$a \geqq 0$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．$f(x)>0$，$f^\prime(x)>0$であり，$g(x)=xf(x)$であるとする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．

(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$\sin 3\theta$を$\sin \theta$で表せ．
(2)$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．
(3)関数$y=-8 \sin^3 \theta+6 \sin \theta-3 \cos \theta+4 \cos^3 \theta+1$の$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=\sin 2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式
\[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}$について，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．

(1)$f(x)$が極値をとる$x$の値はただ$1$つであることを示し，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$c$とするとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸と直線$x=c$で囲まれた部分を$D$で表す．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．