正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}2=0.3010$とする．$2^{2015}$の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点$(a,\ 0,\ -1)$を中心とする半径$3$の球面が，$yz$平面と交わってできる円の半径が$2$のとき，$a$の値を求めよ．
(3)$y=-3x^3+9x-1$の極小値を求めよ．
(4)$\displaystyle y=2 \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$のグラフをかけ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}>x+1$を解け．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$の増減，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，そのグラフをかけ．

座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}$を$C$とし，$a$を$2$より小さい実数とする．点$\mathrm{A}(a,\ a)$から$C$に引いた異なる$2$つの接線の接点を各々$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{p^2}{2}+\frac{5}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{q^2}{2}+\frac{5}{2} \right)$とする．ただし，$p<q$とする．

(1)$p$および$q$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\angle \mathrm{PAQ} \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$a=1$のとき，$\triangle \mathrm{PAQ}$の外接円の半径$R$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$g(x)=2x^3-6x+5$とする．このとき，$-3<\alpha<-1$かつ$g(\alpha)=0$をみたす$\alpha$が存在することを示せ．さらに，$x<\alpha$では$g(x)<0$であり，$x>\alpha$では$g(x)>0$であることを示せ．
(2)$(1)$の$\alpha$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

$a$を定数とする．$2$曲線

$\displaystyle C_1:y=-\frac{3}{2} \cos 2x \quad (0<x<2\pi)$
$\displaystyle C_2:y=a \cos x-a-\frac{3}{4} \quad (0<x<2\pi)$

を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$n$を$2$以上の整数とする．曲線$\displaystyle y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$，直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$n-1$本の曲線$y=a_k \cos x (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1)$によって$n$等分するとき，下の問いに答えよ．ただし，$0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}$とする．

(1)$n=2$のとき，$a_1$の値を求めよ．
(2)$a_k$を$n$と$k$で表せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{AB}=1$とする．点$\mathrm{A}^\prime$および点$\mathrm{B}^\prime$をそれぞれ$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AA}^\prime}=\frac{1}{a} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^\prime}=\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{BAA}^\prime$の$2$等分線と$\angle \mathrm{ABB}^\prime$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．

次の$(1),\ (2)$から$1$題を選択し解答せよ．

(1)等式$\displaystyle |\displaystyle\frac{i|{z}-1}=|\displaystyle\frac{1|{z}-k}$を満たすすべての複素数$z$に対して不等式$|z| \leqq 2$が成り立つような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)実数$k$と$2$次の正方行列$A$は$A^2-kA+3E=O$を満たすとする．また，座標平面上で$A$の表す移動によって，点$(1,\ 1)$は点$(3,\ 3)$へ移り，直線$y=-x$上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，$A$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$のとき，$\displaystyle M=\log_2 8a+\log_{4a} \frac{1}{16}$について，次の各問に答えよ．

(1)$\log_2 a=b$とするとき，$M$を$b$を用いて表せ．
(2)不等式$M>\log_{\frac{1}{3}}9$を満たす定数$a$の値の範囲を求めよ．