座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

$0 \leqq t<2\pi$とする．関数$f(x)=2x^2+(2+\sin t)x+\cos^2 t-2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，$y=f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$t$がどのような値であっても，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$つの共有点を持つことを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフが，$x$軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$c$を実数として，次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

（イ） $a_1=0$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+c & (a_n<5 \text{のとき}) \\
a_n-5 & (5 \leqq a_n<10 \text{のとき}) \\
2a_n-c+1 & (a_n \geqq 10 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

次の問いに答えよ．

(1)$c=5$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(2)$c=10$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(3)$c<5$のとき，$a_n<10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(4)$\displaystyle c=\frac{16}{3}$のとき，$a_n>1000$をみたす最小の$n$を求めよ．

$p,\ q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\displaystyle S_p=\frac{p}{q}$，$\displaystyle S_q=\frac{q}{p}$が成り立つとする．次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$について無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．

$a$を定数とし，$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とする．媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\cos^3 t \\
y=\sin^3 t \phantom{2^{\mkakko{}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right. \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．また，$C$の$0 \leqq t \leqq a$の部分の長さを$L$とする．

(1)$L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^3+9n^2+7n$で表されるとする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$T_n$を一般項とする数列$\{T_n\}$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{APB}=\alpha,\quad \angle \mathrm{CPD}=\beta,\quad \angle \mathrm{BAC}=\theta \]
とする．ただし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$以外の点である．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AP}$の長さを$\alpha,\ \theta$を用いて表し，$\mathrm{PC}$の長さを$\beta,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \mathrm{BC}=2+\sqrt{7},\ \beta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\alpha$を求めよ．

平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．