$c$を実数とする．数列$\{a_n\}$は次を満たす．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+cn-4}{3n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3$を$c$を用いて表せ．
(2)$a_1+a_3 \leqq 2a_2$のとき，不等式$a_n \geqq 3 (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_1+a_3=2a_2$のとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2)$a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても，
\[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \]
となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．

スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．

(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．

(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．

(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．

関数$\displaystyle f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}$，$\displaystyle \log f_2(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_1(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_3(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x f_2(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_4(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_3(t) \, dt$，$\cdots$，
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする．ただし，$\log$は自然対数である．また，
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．さらに，


$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，

$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$，

$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$


とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$f_k(x)$を積分を使わずに表せ（$k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）．
(2)$I_n$を$J$で表せ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
(3)$J$を$K$で表せ．
(4)$I_n$を求めよ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．

曲線$C:y=\log x$上の点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \log \frac{3}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=1$，$x=3$，曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．

次の問いに答えよ．

(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -x^2-x \leqq \log (1-x) \leqq -x \]
(2)数列$\{a_n\}$を次によって定める．
\[ \begin{array}{rcl}
a_1 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \\
a_2 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 2^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2 \cdot 2^2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}} \\
& \vdots & \\
a_n &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2n^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2n^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{2n^2} \right)
\end{array} \]
このとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$xy$平面において，曲線$C:x^2+y^2=1 (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，および直線$\ell:y=(\tan \theta)x$を考える．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を次によって定める．

$S_1:$ $y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれた部分の面積
$S_2:$ $x$軸，曲線$C$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積
$S_3:$ $x$軸，直線$\ell$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

次の問いに答えよ．

(1)$S_1$および$S_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$となる$\theta$が存在することを示せ．
(3)$S_1=S_2=S_3$となる$\theta$は存在しないことを示せ．