$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$a,\ b$は定数であり，$0<a<b$とする．定積分
\[ I=\int_0^1 a^{1-t}b^t \, dt \]
について，次の問に答えよ．

(1)$I$を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 1$のとき，
\[ a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t} \geqq 2 \sqrt{ab} \]
であることを示せ．また，$I>\sqrt{ab}$を示せ．
(3)$0<t<1$とする．$x>1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ x^t<1+t(x-1) \]
(4)$(3)$の不等式を利用して，$\displaystyle I<\frac{a+b}{2}$を示せ．

$p$を素数とするとき，次の問に答えよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$の最大公約数は$1$であるとし，$\displaystyle x=\frac{n}{m}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．
(2)方程式
\[ p^x=-x^2+9x-5 \]
が有理数の解$x$をもつような組$(p,\ x)$をすべて求めよ．

$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$曲線$y=\cos x$，$y=\sin 2x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)$2$曲線$y=\cos x$，$y=\sin 2x$の交点の$x$座標をすべて求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5!+4!+3!$の値を求めよ．
(2)$a \geqq 4$のとき，$a!+2$は$2$の累乗になり得ないことを示せ．
(3)$a \geqq 6$のとき，$\displaystyle \frac{a!}{2}+4$は$2$の累乗になり得ないことを示せ．
(4)$a \geqq b \geqq c$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$について，
\[ S=a!+b!+c! \]
とする．$S$が$2$の累乗になる整数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．

連続関数$f(x)$は次の条件を満たす．
\[ f(x)=1+\int_0^x (x-t)f(t) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\phi(x)=f(x)+f^\prime(x)$とおくとき，$\displaystyle \frac{\phi^\prime(x)}{\phi(x)}$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．

関数$f(x)=e^{-x}\cos \sqrt{3}x$について以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)$の増減を調べよ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(3)部分積分を$2$回用いて$f(x)$の不定積分を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=e^{-x}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$n$を自然数とし，関数$f_m(x) (m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を次のように定める．
\[ f_m(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (m=0) \\
x^m & (m \geqq 1)
\end{array} \right. \]
さらに，$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を次のように定める．
\[ a_k=\int_{-1}^1 f_k(1-x)f_{n-k}(1+x) \, dx \]
以下の問いに答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$k \geqq 1$のとき，$a_k$を$n,\ k,\ a_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$a_k$を$n,\ k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{a_k}$を$n$を用いて表せ．