どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．

さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

座標空間内に$5$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A} \left(0,\ 0,\ \frac{3}{4} \right),\quad \mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right),\quad \mathrm{C}(s,\ t,\ 0),\quad \mathrm{D}(0,\ u,\ 0) \]
がある．ただし，$s,\ t,\ u$は実数で，$s>0$，$t>0$，$s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．
(3)点$(0,\ 1,\ 0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を$1$以上$7$以下の自然数とする．次の条件$(*)$を考える．

\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．

以下の問に答えよ．

(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．

$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を次のように定める．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
$f(x)$を連続な関数とし，$p,\ q$を実数とする．$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．
\[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2)関数$h(x)$を次のように定める．
\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
このとき，次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]

座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを$1$枚用意し，次のように左から順に文字を書く．

コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行であるとき，等式
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行でないとき，等式
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \]
が成り立つことを示せ．

平面において，一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OA}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OB}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$をとる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{x-3}{x-4}$，$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-1)(x-3)$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の交点をすべて求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$の概形をかき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，自然数$k$に対して$\displaystyle x_k=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}$がすべての自然数$k$について成り立つような実数$p,\ q,\ r$を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=0$のとき，$3$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
また，$a=0$のとき，$4$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k$の和を求めよ．