「分数」について
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国立 京都大学 2015年 第1問$2$つの関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{\pi}{8} \right)$と$y=\sin 2x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 京都大学 2015年 第5問$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を正の有理数として整式
$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$
を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．
$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$
を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．
国立 京都大学 2015年 第5問$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を正の実数として整式
$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$
を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．
$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$
を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．
国立 京都大学 2015年 第6問$2$つの関数を
\[ f_0(x)=\frac{x}{2},\quad f_1(x)=\frac{x+1}{2} \]
とおく．$\displaystyle x_0=\frac{1}{2}$から始め，各$n=1,\ 2,\ \cdots$について，それぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$x_n=f_0(x_{n-1})$または$x_n=f_1(x_{n-1})$と定める．このとき，$\displaystyle x_n<\frac{2}{3}$となる確率$P_n$を求めよ．
\[ f_0(x)=\frac{x}{2},\quad f_1(x)=\frac{x+1}{2} \]
とおく．$\displaystyle x_0=\frac{1}{2}$から始め，各$n=1,\ 2,\ \cdots$について，それぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$x_n=f_0(x_{n-1})$または$x_n=f_1(x_{n-1})$と定める．このとき，$\displaystyle x_n<\frac{2}{3}$となる確率$P_n$を求めよ．
国立 大阪大学 2015年 第1問自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．
\[ f_n(x)=\frac{x}{n(1+x)} \log \left( 1+\frac{x}{n} \right) \quad (x \geqq 0) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^n f_n(x) \, dx \leqq \int_0^1 \log (1+x) \, dx$を示せ．
(2)数列$\{I_n\}$を
\[ I_n=\int_0^n f_n(x) \, dx \]
で定める．$0 \leqq x \leqq 1$のとき$\log (1+x) \leqq \log 2$であることを用いて数列$\{I_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることは用いてよい．
国立 大阪大学 2015年 第2問直線$\ell:y=kx+m (k>0)$が円$C_1:x^2+(y-1)^2=1$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2$の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$k$と$m$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$k$と$m$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第2問$p,\ q$は正の実数とし，
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=pa_n+(-q)^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定まる数列$\{a_n\}$がある．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{p^n}$とする．数列$\{b_n\}$の一般項を$p,\ q,\ n$で表せ．
(2)$q=1$とする．すべての自然数$n$について$a_{n+1} \geqq a_n$となるような$p$の値の範囲を求めよ．
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=pa_n+(-q)^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定まる数列$\{a_n\}$がある．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{p^n}$とする．数列$\{b_n\}$の一般項を$p,\ q,\ n$で表せ．
(2)$q=1$とする．すべての自然数$n$について$a_{n+1} \geqq a_n$となるような$p$の値の範囲を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第5問$n$は自然数，$a$は$\displaystyle a>\frac{3}{2}$をみたす実数とし，実数$x$の関数
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える．ただし，$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える．ただし，$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．
(2)$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
国立 一橋大学 2015年 第1問$n$を$2$以上の整数とする．$n$以下の正の整数のうち，$n$との最大公約数が$1$となるものの個数を$E(n)$で表す．たとえば
\[ E(2)=1,\quad E(3)=2,\quad E(4)=2,\ \quad\cdots,\quad E(10)=4,\ \quad \cdots \]
である．
(1)$E(1024)$を求めよ．
(2)$E(2015)$を求めよ．
(3)$m$を正の整数とし，$p$と$q$を異なる素数とする．$n=p^mq^m$のとき$\displaystyle \frac{E(n)}{n} \geqq \frac{1}{3}$が成り立つことを示せ．
\[ E(2)=1,\quad E(3)=2,\quad E(4)=2,\ \quad\cdots,\quad E(10)=4,\ \quad \cdots \]
である．
(1)$E(1024)$を求めよ．
(2)$E(2015)$を求めよ．
(3)$m$を正の整数とし，$p$と$q$を異なる素数とする．$n=p^mq^m$のとき$\displaystyle \frac{E(n)}{n} \geqq \frac{1}{3}$が成り立つことを示せ．
国立 九州大学 2015年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ．
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ．