$n$を自然数とする．関数$f(x)=e^x \sin x$の$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ f^{(n)}(x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]

以下の問いに答えよ．

(1)ド・モアブルの定理を用いて
\[ \sin (7\theta) \]
を$\sin \theta,\ \cos \theta$およびそれらの累乗で表わせ．
(2)$3$次方程式
\[ 7x^3-35x^2+21x-1=0 \]
を解け．
(3)和
\[ \frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{3\pi}{7}} \]
を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$，$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ．
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ．
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．

関数$F(x)=3x^5-15x^4-35x^3+165x^2+360x+240$の導関数を$f(x)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を因数分解せよ．
(3)$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．

$k$は正の整数とする．定積分$\displaystyle I_k=\int_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n I_k$とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．

(2)不等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}}<I_k<\frac{1}{\sqrt{k}}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$の整数部分を求めよ．

$\displaystyle b=a+\frac{1}{a}$とする．
\[ a^5+\frac{1}{a^5} \]
を$b$の多項式で表せ．

$n$を$n \geqq 2$である整数とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．

(4)式
\[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \]
が成り立つことを証明せよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．

$3$次方程式$\displaystyle x^3+ax^2+bx+\frac{b}{k}=0$は$2$つの異なる整数解$p,\ q$をもち，$p$は重解である．ただし，$pq \neq 0$とする．また，$k$は，$k \neq 0$の整数とする．このとき，$a,\ b,\ k$の値の組をすべて求めよ．