$3$個のさいころを投げるとする．$1$個のさいころの目が$6$で，残り$2$個のさいころの目がいずれも$5$となる確率は，$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ][フ]}$である．また，$2$個のさいころの目が同じで，残りのさいころの目がそれとは異なる場合の確率は，$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．ただし，$3$個のさいころのそれぞれの目が出る確率は，いずれも等しいとする．

$a$を定数として，$2$次関数$y=x^2+3ax+6-2a$とそのグラフを考える．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a=1$のとき，この関数のグラフの頂点の座標は$\displaystyle \left( -\displaystyle\frac{[$16$]}{[$17$]},\ \displaystyle\frac{[$18$]}{[$19$]} \right)$である．
(2)この関数のグラフが$x$軸と接するとき，$\displaystyle a=\frac{-[$20$] \pm [$21$] \sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$である．
(3)$x=-2$のとき，この関数は最小値をとる．このとき，$\displaystyle a=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，最小値は$\displaystyle -\frac{[$26$]}{[$27$]}$である．
(4)この関数の最小値が$-7$であるとき，$a=[$28$]$または$\displaystyle a=-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)全体集合$U$と，その部分集合$A,\ B$について$n(U)=140$，$n(A)=80$，$n(B)=70$，$n(A \cap B)=20$のとき，次の個数を求めよ．

(i) $n(A \cup \overline{B})=[$1$]$である．
(ii) $n(\overline{A} \cap \overline{B})=[$2$]$である．

(2)$\sqrt{630n}$が自然数になるような最小の自然数$n$は$n=[$3$]$である．

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．

このとき，$a=[$4$]$，$b=\sqrt{[$5$]}-[$6$]$である．

また，$\displaystyle \frac{10a}{b}=[$7$] \sqrt{[$8$]}+[$9$]$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)放物線$y=2x^2$を，$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$3$だけ平行移動する．この放物線をグラフとする$2$次関数は
\[ y=[$14$]x^2+[$15$]x+[$16$] \]
である．
(2)放物線$y=-2x^2$を平行移動したグラフが，$2$点$(1,\ 1)$，$(2,\ -8)$を通るとき，この放物線をグラフとする$2$次関数は
\[ y=-[$17$]x^2-[$18$]x+[$19$] \]
である．
(3)$3$点$(3,\ 0)$，$(-2,\ 0)$，$(2,\ 6)$を通る放物線をグラフとする$2$次関数は
\[ y=-\frac{[$20$]}{[$21$]}x^2+\frac{[$22$]}{[$23$]}x+[$24$] \]
である．
(4)点$(-1,\ 2)$を頂点とし，点$(2,\ 0)$を通る放物線をグラフとする$2$次関数は
\[ y=-\frac{[$25$]}{[$26$]}x^2-\frac{[$27$]}{[$28$]}x+\frac{[$29$]}{[$30$]} \]
である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．$\displaystyle \cos \theta=-\frac{3}{4}$のとき，
\[ \sin \theta=\frac{\sqrt{[$31$]}}{[$32$]},\quad \tan \theta=-\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]} \]
である．
(2)$2$直線$y=-x$と$y=\sqrt{3}x$のなす角$\theta$は${[$35$]}^\circ$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\mathrm{CA}=6$であるとき，
\[ \angle \mathrm{B}={[$36$]}^\circ,\quad \mathrm{AB}=[$37$] \sqrt{[$38$]},\quad \mathrm{BC}=[$39$]+[$40$] \sqrt{[$41$]}, \]
$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$42$] \sqrt{[$43$]}$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる．

(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると，
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる．
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である．
(4)次の問いに答えよ．

(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である．

(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて$1$列に並ぶとき，


(i) 両端が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．

(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．


(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて等間隔に輪の形に並ぶとき，


(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が正面に向かい合う確率は$\displaystyle \frac{[$18$]}{[$19$]}$である．

(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$20$]}{[$21$]}$である．

$x$の方程式$x^4+x^2-2Ax-A-1=0$を考える．ただし$A$は正の定数である．次の問いに答えなさい．

(1)この方程式の解$x$は，$(x^2+1)^2=x^2+\mkakko{$\mathrm{a}$}Ax+\mkakko{$\mathrm{b}$}A+\mkakko{$\mathrm{c}$}$を満たす．
(2)方程式$x^2+\mkakko{$\mathrm{a}$}Ax+\mkakko{$\mathrm{b}$}A+\mkakko{$\mathrm{c}$}=0$が重解をもつのは，$A=\mkakko{$\mathrm{d}$}$のときである．
(3)$A=\mkakko{$\mathrm{d}$}$のとき，方程式$x^4+x^2-2Ax-A-1=0$を満たす実数$x$を求めなさい．


$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{e}$} \pm \sqrt{\mkakko{$\mathrm{f}$}}}{\mkakko{$\mathrm{g}$}}$

放物線$y=4x^2+x$を$C$とし，$a$を正の実数とする．

(1)$C$上の点$(1,\ 5)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(0,\ -a)$から$C$へ引いた$2$つの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし$\ell_1$の傾きは$\ell_2$の傾きより大きいとする．また，$\ell_1,\ \ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式と$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$を通る直線および$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\ell_1,\ \ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

$2$次関数$y=ax^2-2ax+b-2$のグラフを$C$とする．ただし，$a,\ b$は定数とする．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$C$が$2$点$(-2,\ 1)$，$(1,\ 4)$を通るとき，
\[ a=-\frac{[$22$]}{[$23$]},\quad b=\frac{[$24$]}{[$25$]} \]
である．
(2)この関数の最大値が$3$であり，$C$が点$(-1,\ 1)$を通るとき，
\[ a=-\frac{[$26$]}{[$27$]},\quad b=\frac{[$28$]}{[$29$]} \]
である．
(3)$C$が$x$軸と接し，点$(3,\ 2)$を通るとき，
\[ a=\frac{[$30$]}{[$31$]},\quad b=\frac{[$32$]}{[$33$]} \]
である．
(4)区間$0 \leqq x \leqq 4$において，この関数の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[$34$]}{[$35$]},\quad b=\frac{[$36$]}{[$37$]},\quad \text{または} \quad a=-\frac{[$38$]}{[$39$]},\quad b=\frac{[$40$]}{[$41$]} \]
である．