不等式$2 |x|+3 |y| \leqq 30$の表す領域における点の座標を$(a,\ b)$とする．$a,\ b$ともに整数となる点の個数を$p$としたとき，$\displaystyle n<\frac{p}{100}<n+1$となる自然数$n$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$はすべて自然数とする（$a>b>c>d>e>f$）．

$a+f=b+e=c+d=16$を満たす$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組$(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f)$の個数を$N$とする．$\displaystyle \frac{N}{7}$の値を求めよ．

複素数$z$は，$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9=0$を満たす．

$\displaystyle \frac{|z-2|^2+|z+2|^2}{5}$の値を求めよ．

点$z$は複素数とする．点$z$は，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く．$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき，$|w|$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$3(M-m)$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(6,\ 8)$，点$\mathrm{B}(21,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$について考える．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を$(p,\ q)$とする．$|\displaystyle\frac{2p|{q}}$の値を求めよ．

$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$，その$4$桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数を$M$とする．$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2+2} (a \neq 0)$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-2$で極小値$\displaystyle \frac{1}{2}$をとり，$x=1$で極大値$2$をとる．$|a+b-c|$の値を求めよ．

曲線$C_1:y=x(x-a)(x-a-1)$と曲線$C_2:y=x(x-a)$について考える．$C_1$と$C_2$で囲まれたすべての図形の面積を$S_1$とし，$0 \leqq x \leqq a$で$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=2$となるとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a$は正の実数とする．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x} (1 \leqq x \leqq 2)$の長さを$L$とする．$\displaystyle \frac{72}{59}L$の値を求めよ．

定積分$\displaystyle \frac{16}{\pi} \int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx$の値を求めよ．