「分数」について
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公立 会津大学 2010年 第5問関数$y=(x-2)e^x$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 会津大学 2010年 第6問以下の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ -\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}<-\frac{1}{n+1} \]
(2)(1)の結果を利用して，すべての自然数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n+1} \]
(1)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ -\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}<-\frac{1}{n+1} \]
(2)(1)の結果を利用して，すべての自然数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n+1} \]
公立 九州歯科大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(\log_5 7+\log_{25}7) \log_7 x=6$をみたす$x$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+8x+c=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (\alpha-\beta)^{2k}=3$のとき，定数$c$の値を求めよ．
(3)袋の中に青球$5$個，緑球$4$個，黄球$2$個，赤球$2$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋にさらに$n$個の赤球と$5-n$個の白球を加える．この袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，取り出された$2$個の球が同じ色でない確率が$\displaystyle \frac{5}{6}$となる$n$の値を求めよ．
(1)$(\log_5 7+\log_{25}7) \log_7 x=6$をみたす$x$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+8x+c=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (\alpha-\beta)^{2k}=3$のとき，定数$c$の値を求めよ．
(3)袋の中に青球$5$個，緑球$4$個，黄球$2$個，赤球$2$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋にさらに$n$個の赤球と$5-n$個の白球を加える．この袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，取り出された$2$個の球が同じ色でない確率が$\displaystyle \frac{5}{6}$となる$n$の値を求めよ．
公立 九州歯科大学 2010年 第3問$\displaystyle I_n=\int_0^c \sin^n x \cos^5 x \, dx$，$\displaystyle J_n=\int_0^c \sin^n x \cos x \, dx$，$K_n=J_n-J_{n+2}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数であり，$c$は正の定数である．
(1)$I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．
(1)$I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．
公立 九州歯科大学 2010年 第2問辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを，それぞれ，$4,\ 2,\ b$とする$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．$\alpha=\angle \mathrm{BAC}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$，$\gamma=\angle \mathrm{ACB}$，$\displaystyle \overrightarrow{u}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$t$は定数である．
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S_1$と$\triangle \mathrm{ABD}$の面積$S_2$の比$\displaystyle p=\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$の比$\displaystyle r=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|}$の値を求めよ．
(3)$w=|\overrightarrow{u}|^2+4bt \cos \alpha+16t(1-t) \cos \beta+2b(1-t) \cos \gamma$を$b$と$t$を用いて表せ．
(4)$t=p$のとき，$z=3|\overrightarrow{u}|+4w-b^2$の値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第4問図は各頂点および各辺が点灯する装置を表している．この装置ではスイッチを入れると，$4$つの頂点はそれぞれ独立に$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で，赤，黄，緑のいずれかの色で点灯する．また，各辺は，その両端の$2$つの頂点の色が一致していれば，これら$2$つの頂点と同じ色で点灯し，そうでない場合は青く点灯する．以下の問に答えなさい．
（図は省略）
(1)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい．
(2)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい．
(3)スイッチを入れたとき，$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい．
（図は省略）
(1)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい．
(2)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい．
(3)スイッチを入れたとき，$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい．
公立 高知工科大学 2010年 第2問$a,\ m$を正の定数とする．座標平面において，曲線$C:y=x^3-2ax^2+a^2x$と直線$\ell:y=m^2x$は，異なる$3$点を共有し，その$x$座標はいずれも負ではないとする．次の各問に答えよ．
(1)$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．
(3)(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が$\displaystyle \frac{1}{2}$になるように$a$の値を定めよ．
(1)$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．
(3)(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が$\displaystyle \frac{1}{2}$になるように$a$の値を定めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2010年 第1問$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle t=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$とおく．$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$a$を正の定数とする．$\displaystyle y=\tan^2 \theta+\frac{1}{\tan^2 \theta}-a \left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta} \right)$のとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle t=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$とおく．$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$a$を正の定数とする．$\displaystyle y=\tan^2 \theta+\frac{1}{\tan^2 \theta}-a \left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta} \right)$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2010年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかの状態をとる粒子があり，その状態は次のように変化していく．
\mon[(イ)] 状態$\mathrm{A}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$である確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
\mon[(ロ)] 状態$\mathrm{B}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であり，状態$\mathrm{C}$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である．
\mon[(ハ)] 状態$\mathrm{C}$となったときは，その後は変化なく$\mathrm{C}$の状態が続く．
粒子は最初状態$\mathrm{A}$であるとし，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$，状態$\mathrm{C}$である確率をそれぞれ$P_n,\ Q_n,\ R_n$とする．次の問いに答えよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(1)$R_n$を求めよ．
(2)異なる$m,\ n$で$Q_m=Q_n$となることはあるか．
(3)$P_m=Q_n$となることはあるか．
\mon[(イ)] 状態$\mathrm{A}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$である確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
\mon[(ロ)] 状態$\mathrm{B}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であり，状態$\mathrm{C}$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である．
\mon[(ハ)] 状態$\mathrm{C}$となったときは，その後は変化なく$\mathrm{C}$の状態が続く．
粒子は最初状態$\mathrm{A}$であるとし，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$，状態$\mathrm{C}$である確率をそれぞれ$P_n,\ Q_n,\ R_n$とする．次の問いに答えよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(1)$R_n$を求めよ．
(2)異なる$m,\ n$で$Q_m=Q_n$となることはあるか．
(3)$P_m=Q_n$となることはあるか．
公立 和歌山県立医科大学 2010年 第4問関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める．
$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$
$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$
$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$
(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．
$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$
$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$
$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$
(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．