実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える．ただし，$ad \neq 0$とする．方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．

実数$a$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$を動くとき，
\[ S(a) = \int_a^{a+1} |(3x-4)(x-4)| \, dx \]
を最小にする$a$の値を求めなさい．

長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周を点$\mathrm{A} = \mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n = \mathrm{B}$で$n$等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．

同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面上に点$\mathrm{D}$をとる．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{a} +y \overrightarrow{b} +z \overrightarrow{c}$と表すとき，実数$x,\ y,\ z$が満たすべき条件を求めなさい．
(2)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は四角形$\mathrm{ABCD}$をなし，次の条件

$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a},$
$\displaystyle |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{c}|= 1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OD}}| = \sqrt{\frac{17}{2}}$

を満たすとする．その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とし，四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形をなすとする．ただし，四角形$\mathrm{PQRS}$は四角形$\mathrm{ABCD}$に含まれるものとする．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めなさい．

整数の値をとる整数$n$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(n)= \frac{1}{2}n(n+1),\quad g(n)=(-1)^n \]
で定め，その合成関数を$h(n)=g(f(n))$とする．さらに，1つのさいころを4回振って，出た目の数を順に$j,\ k,\ l,\ m$として$a=h(j),\ b=h(k),\ c=h(l),\ d=h(m)$とおき，関数
\[ P(x) = ax^3-3bx^2+3cx-d \]
を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$に対して，$h(n)$の値を求めなさい．
(2)$P(x)$がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．
(3)$P(x)$が点$(1,\ P(1))$を変曲点に持つ関数になる確率を求めなさい．
(4)$P(x)$が$P(1)=P^{\, \prime}(1)=P^{\, \prime\prime}(1)=0$を満たす関数になる確率を求めなさい．

正の実数からなる2つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，$n \geqq 3$について
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +a_{n-2}}{2},\ b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \]
をみたすものとする．次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)$n \geqq 3$について$a_n$を$a_1,\ a_2,\ n$を用いて表せ．
(3)$b_1 = 1,\ b_2 = 2$のとき，$n \geqq 3$について$\log_2 b_n$を$n$を用いて表せ．

$a,\ b$を正の実数とし，座標平面上の放物線$C : y = ax^2 +b$を考える．$t,\ s$は正の実数とし，点P$(t,\ at^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_P$，点Q$(s,\ as^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_Q$で表す．$\ell_P$は原点を通っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_P$の傾きが1未満となるための必要十分条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\ell_P$の傾きは1未満とし，$\ell_P$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す．Qを$\ell_Q$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき，$\ell_Q$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすとき，$\ell_P$の傾きは1未満であることを示せ．
(4)$a,\ b$は$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすものとし，Qを(2)のようにとる．$\ell_Q$の傾きが最大になるような$a,\ b$を求めよ．

$a,\ b$は$a < b$をみたす実数とする．$f(x),\ g(x)$は閉区間$[ \; a,\ b \; ]$で定義された連続関数で，$g(x) \leqq f(x)$をみたすとする．座標平面上，不等式$a \leqq x \leqq b,\ g(x) \leqq y \leqq f(x)$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をAとする．Aの面積$S$が正のとき，Aの重心の$y$座標は，
\[ \frac{1}{S} \int_a^b \frac{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}{2} \, dx \]
で与えられる．この事実を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$r$は$0 < r < 1$をみたす実数とする．不等式$r^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1,\ y \geqq 0$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をBとおく．Bの重心の$y$座標$Y(r)$を$r$を用いて表せ．
(2)$t$は正の実数とする．不等式$-1 \leqq x \leqq 1,\ \sqrt{1-x^2} -t \leqq y \leqq \sqrt{1-x^2}$をみたす点$(x,\ y)$全体からなる図形をCとおく．Cの重心の$y$座標$Z(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)(1)で得られた$Y(r)$と(2)で得られた$Z(t)$について，$\displaystyle \lim_{r \to 1-0}Y(r)$と$\displaystyle \lim_{t \to +0}Z(t)$の大小を比較せよ．

次の各問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{1}{7}$を小数で表したとき，小数点以下第$2010$位の数を求めなさい．
(2)$X,\ Y$を正の実数，$a$を$1$と異なる正の実数とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ \log_a XY=\log_a X+\log_a Y \]

整式$P=4x^4y+4x^2y^3+4x^3y^2+4xy^4$を因数分解しなさい．また，$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\ y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$のとき，$P$の値を求めなさい．