次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．

以下の$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[　]}{[　]},\quad y=-\frac{[　]}{[　]},\quad z=-\frac{[　]}{[　]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[　] \sqrt{[　]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[　]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[　]+[　] \sqrt{[　]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[　]+\sqrt{[　]}$である．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\sin^3 \theta-\cos^3 \theta$の値を求めなさい．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解が$\displaystyle x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$であるとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2},\ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，次の値を求めよ．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=[　]$
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[　]$

三角形$\mathrm{ABC}$があり，その辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さはそれぞれ$9,\ 6,\ 5$とする．また，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上にはそれぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さはすべて等しく，その値が$a$であるとする．このとき，

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{2}$である．
(2)$\angle \mathrm{ABC}=B$とすれば，$\displaystyle \cos B=\frac{[　]}{27}$である．
(3)$\mathrm{BD}$と$\mathrm{BE}$の長さが等しくなるように$a$を決めると，$\mathrm{DE}$の長さは$\sqrt{[　]}$になる．
(4)$\displaystyle a=\frac{[　]}{16}$であれば，$\angle \mathrm{ADF}$が直角になる．
(5)$a=2$ならば，三角形$\mathrm{CFE}$の面積は$\displaystyle \frac{[　] \sqrt{2}}{3}$になる．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 2^{\frac{3}{2}}-2^{-\frac{1}{2}} \right)^2=\frac{[　]}{2}$
(2)方程式$3^{2x-5}=\sqrt[5]{9}$の解は，$\displaystyle x=\frac{[　]}{10}$である．
(3)方程式$\displaystyle \log_{16}(x+5)=\frac{3}{2}$の解は$x=[　]$である．
(4)不等式$\log_{\frac{1}{2}} (x-3)>-3$の解は，$[　]<x<[　]$である．

$2$次関数$f(x)=x^2-6x-2$がある．

(1)関数$f(x)$の極小値は$-[　]$である．
(2)直線$\ell:y=-2x+b$と$y=f(x)$のグラフは，点$\mathrm{P}$で接している．このとき点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[　]$，$y$座標は$-[　]$であり，$b=-[　]$となる．
(3)$y$軸と$y=f(x)$のグラフおよび直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$は$\displaystyle S=\frac{[　]}{3}$である．

$a$を実数（ただし，$a$は$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$にも，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$にも等しくない）とする．$a_1=a$とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P}_n \left( a_n,\ \frac{1}{2} a_n^2 \right)$における$C$の接線を$\ell_n$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\ \frac{1}{2} a_{n+1}^2 \right)$における$C$の接線$\ell_{n+1}$の傾きは，$\mathrm{P}_n$を中心として$\ell_n$を正の向きに$60^\circ$回転した直線の傾きに等しい．

(1)$a_2$を$a$の式で表せ．
(2)$a_3$を$a$の式で表せ．
(3)$a_4$を$a$の式で表せ．
(4)$a_{14}$を$a$の式で表せ．

関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．