「分数」について
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私立 西南学院大学 2010年 第2問$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが袋の中に入っている．この中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，
(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．
(1)$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．
(2)最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．
(3)最大の数が$7$となる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツ]}$である．
私立 西南学院大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．
(1)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$4 \sin^2 \theta+2(1+\sqrt{3}) \cos \theta-(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta=[テト]^\circ$，$[ナニ]^\circ$である．ただし，$[テト]^\circ<[ナニ]^\circ$とする．
(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$のとき，
$\displaystyle \tan \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3 \right)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta=[ヌネ]^\circ$，$[ノハ]^\circ$である．ただし，$[ヌネ]^\circ<[ノハ]^\circ$とする．
私立 西南学院大学 2010年 第4問$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は，
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．
(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．
(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．
私立 学習院大学 2010年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$で，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
\[ \angle \mathrm{A}=60^\circ,\quad b=4c \]
のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{a}{c}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}$の値を求めよ．
\[ \angle \mathrm{A}=60^\circ,\quad b=4c \]
のとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{a}{c}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}$の値を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
私立 学習院大学 2010年 第2問不等式
\[ \frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}+\frac{1}{\log_m7}<4 \]
を満たす最大の自然数$m$を求めよ．
\[ \frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}+\frac{1}{\log_m7}<4 \]
を満たす最大の自然数$m$を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$a$を正の実数とする．定積分
\[ F(a)=\int_0^1 \frac{ax^2+(a^2+2a)x+2a^2-2a+4}{(x+a)(x+2)} \, dx \]
を求めよ．
(2)$a$が正の実数全体を動くとき，$F(a)$の最小値と，最小値を与える$a$の値を求めよ．
(1)$a$を正の実数とする．定積分
\[ F(a)=\int_0^1 \frac{ax^2+(a^2+2a)x+2a^2-2a+4}{(x+a)(x+2)} \, dx \]
を求めよ．
(2)$a$が正の実数全体を動くとき，$F(a)$の最小値と，最小値を与える$a$の値を求めよ．
私立 北海道文教大学 2010年 第4問$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{3} (0^\circ<\theta<90^\circ)$のとき，次の値を求めなさい．
(1)$\sin \theta+\cos \theta$
(2)$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$
(1)$\sin \theta+\cos \theta$
(2)$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$
私立 広島国際学院大学 2010年 第2問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，その面積$S$は$12 \sqrt{5}$に等しく，また$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$c=9$である．ここで$c$は辺$\mathrm{AB}$の長さであり，$A=\angle \mathrm{BAC}$である．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さ$b$を求めなさい．
(2)辺$\mathrm{BC}$の長さ$a$を求めなさい．
私立 北海道薬科大学 2010年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[ ]$となる．
(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[ ]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([ ],\ [ ])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [ ] \text{または} \frac{[ ]}{[ ]} \]
である．
(1)$\displaystyle \frac{4}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}$を計算すると$[ ]$となる．
(2)$3^{2x}-2 \times 3^{x+2}=-81$を解くと，$x=[ ]$となる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\ 3)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-4,\ 5)$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=([ ],\ [ ])$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(4)$3$つの直線$ax+y=1$，$x+2y=3$，$x-ay=-3$が一点で交わるとき，定数$a$の値は
\[ [ ] \text{または} \frac{[ ]}{[ ]} \]
である．