座標平面上に直線$\ell:y=mx-4m$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．$m$は，$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるような値をとるとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\ell$は$m$の値にかかわりなく，ある定点を通る．この点の座標を求めよ．
(2)$m$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上にそれを図示せよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である．また，等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると，$(a,\ b,\ c)=[イ]$である．
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=[エ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である．また，$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)$a \geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$(a,\ b)=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$の小数部分の値は$[イ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}=[ウ]$である．また，$\mathrm{AD}$を軸とし，$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AB}$に重ねるように$\triangle \mathrm{ADC}$を折り返すとき，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}$上に重なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \angle \mathrm{BDE}=[エ]$である．
(3)$x>0,\ y>0$とする．$\displaystyle \left( x+\frac{5}{y} \right) \left( y+\frac{2}{x} \right)$は，$xy=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．
(4)展開図が半径$r$の円と周の長さが$k$の扇形からなる円錐を考える．このとき円錐の高さは$[キ]$である．また，$k$を一定とすると，$r=[ク]$のとき円錐の表面積が最大になる．ただし，円周率を$\pi$とする．
(5)実数$x,\ y,\ z (xyz \neq 0)$について等式$3^x=2^y=\sqrt{6^{3z}}$が成立しているとき，$x$を$z$で表すと$[ケ]$であり，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を対数を用いないで表すと$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

次の問に答えよ．

(1)方程式
\[ \frac{x+4}{x+6}+\frac{x+6}{x+8}=\frac{x+2}{x+4}+\frac{x+8}{x+10} \]
が成立するとき，$x$の値は，$[アイ]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$y=x^2-8x+9$のグラフと点$(1,\ -5)$に関して対称であるとき，$a,\ b,\ c$の値は，それぞれ，$[ウエ]$，$[オカ]$，$[キク]$である．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x^2+a}=-\frac{1}{8}$を満たす$a$の値は$a=[ケ]$である．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \left( \frac{8x+5}{x-3}+\frac{3x-154}{x^2-x-6} \right)=\frac{[コサ]}{[シ]}$である．
(3)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}=[ス]f^\prime(a)$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=7:5:3$とする．次の問に答えよ．

(1)$A,\ B,\ C$のうち最大の角を$\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$60 \sqrt{3}$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[チツ]$である．また，この三角形の内接円の面積は$[テト]\pi$である．

次の問いに答えよ．

(1)$p$を実数の定数とする．$x$に関する次の$2$つの方程式
\[ \begin{array}{l}
x^2+px+3p+9=0 \\
x^2-7x-p^2-7p-12=0
\end{array} \]
が$1$つ以上の共通解をもつとき，その共通解は，$\displaystyle \frac{[ア] \pm \sqrt{[イウ]}}{2}$あるいは，$[エ]$である．
(2)$a,\ b$を正の定数（ただし，$a>b$）とし，$ab=7$とする．方程式$\displaystyle \frac{b}{2x-a}-\frac{a}{2x-b}=0$の解が$x=3$ならば，$a=[オ]+\sqrt{[カ]}$，$b=[キ]-\sqrt{[ク]}$である．