$1$個のサイコロを$4$回ふるとき，目の和が$23$以上になる確率を$p$とし，目の和が$22$以上になる確率を$q$とする．$\displaystyle \frac{q}{p}$の値を求めよ．

$2$つの放物線$C_1:y=-2x^2+10x,\ C_2:y=x^2-2x$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に平行で$C_1$に接する直線を$L$とする．$L$と$C_1$と$C_2$で囲まれる面積を$S$としたとき，$\displaystyle \left( \frac{S}{32}+1 \right)^2$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ．
(2)$(x+y)(3x-2y+z)^6$の展開式における$x^2y^2z^3$の係数を求めよ．

$a$を実数とし，関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_0^a x \{ 2f(t)-tf^\prime(t) \} \, dt+1$および$\displaystyle \int_{-1}^0 f(x) \, dx=-\frac{1}{3}$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^a \{ 2f(t)-tf^\prime(t) \} \, dt$の値を求めよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=2f(x)-xf^\prime(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ．
(2)$(x+y)(3x-2y+z)^6$の展開式における$x^2y^2z^3$の係数を求めよ．

$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)=x \log x$，$g(x)=x^x$について，以下の問いに答えよ．ただし，対数は$e$を底とする自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$g(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の範囲における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．

大きさ$\sqrt{3}$のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさ$2$のベクトル$\overrightarrow{b}$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{4}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{p}=(\cos t) \overrightarrow{a}+(\sin t) \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{q}=(-\sin t) \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}$とするとき，${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$を$t$で表しなさい．
(3)$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲で(2)の${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$の最大値と最小値を求めなさい．

$x>0$の範囲で，関数
\[ f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x}+1 \]
を考える．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を求めなさい．
(2)$f(x)$の増減を調べなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

原点を中心とし半径$1$の円を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通り傾き$\displaystyle \frac{1}{2}$の直線を$\ell$とする．$C$と$\ell$の交点のうち，点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と$45^\circ$の角度で交わる$2$本の直線の方程式を求めなさい．さらに，この$2$本の直線を図示しなさい．