$y=|x(x-2)|$で与えられる曲線について以下の問いに答えよ．

(1)この曲線のグラフを描け．
(2)この曲線と直線$y=mx$の共有点の個数を$m$の値で分類せよ．
(3)$(2)$の共有点が$3$個のとき，この曲線と直線で囲まれる$2$つの図形のうち原点を含む側の図形の面積を$S_1$とし，もう一方の面積を$S_2$とする．このとき
\[ S_2-S_1=\frac{11}{6} \]
となるような$m$の値を求めよ．

$3$次方程式$x^3+ax^2+bx-8=0$（$a,\ b$は実数）の$1$つの解が$\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}i}{2} (i^2=-1)$であるとき，$(a+b)$の値を求めよ．

$p$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^{2p}+\left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)^{2p}$の値を求めよ．ただし，$i^2=-1$である．

$\displaystyle x=\frac{1+a^2}{2a}$（$a \geqq 1$，$a$は実数）であるとき，$\displaystyle a \left( \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} \right)$の値を求めよ．

$2$直線$x+y-5=0$，$(\sqrt{3}-2)x-y-4 \sqrt{3}=0$のなす角を$\theta$とする（$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$）．$\displaystyle \frac{\pi}{\theta}$の値を求めよ．

直線$y-2x+m=0$（$m$は実数）と円$x^2+y^2+2x+6y+6=0$が相異なる$2$点で交わるためには，$m$のとりうる範囲は，$a<m<b$とならなければならない．$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{16}$の値を求めよ．

$2$つの円$x^2+y^2+4x-13+a=0$（$a$は実数），$x^2+y^2-2x+4y+1=0$が外接するとき，$\displaystyle \frac{a^2}{26}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle a=2(b-c) \cos \frac{A}{2}$であるとき，$\displaystyle 12 \sin \frac{B-C}{2}$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ 1$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\displaystyle \sin^2 A=\sin^2 \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$の関係を満たすとき，$a$の値を求めよ．

$\mathrm{A}$の箱に赤玉$6$個と青玉$3$個，$\mathrm{B}$の箱に赤玉$9$個と青玉$4$個，$\mathrm{C}$の箱に赤玉$a$個と青玉$9$個が入っている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$それぞれの箱から玉を$1$個ずつ取り出すとき，その$3$個の玉のうちの$1$個の玉の色だけが異なる確率が$\displaystyle \frac{28}{39}$となるとする．$a$の値を求めよ．