関数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$は$x = 1$で極値7をとり，$f(2) = 0$で，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2-3x+2}=6$を満たす．このとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．

連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{2}x^2 < \frac{3}{2}-x \\
3x-1 \leqq 5x+3
\end{array}
\right. \]
を解け．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$B=45^\circ,\ C=60^\circ$とする．$3$頂点A，B，Cの対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき，$\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}$の値を求めよ．

$\displaystyle a_1=3,\ a_2=4,\ a_{n+2}=\frac{4}{3}a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_{n+1}-a_n=c(a_n-a_{n-1})$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n=d \left( a_n-\frac{1}{3}a_{n-1} \right)$を満たす定数$c$と$d$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}-a_n$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とし，$\sin \theta+\cos \theta=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta \cos \theta$と$(\sin \theta-\cos \theta)^2$を$a$を用いて表せ．
(2)$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$と$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$，$\sin \theta-\cos \theta$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値をそれぞれ求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

箱の中に赤玉$3$個，青玉$n$個，白玉$7-n$個が入っている．この箱から玉$1$個を取り出してはもとに戻す試行を繰り返す．この試行を$3$回繰り返したとき，赤玉を$1$回，青玉を$2$回取り出す確率が$\displaystyle \frac{9}{250}$であるとする．

(1)$n$の値を求めよ．
(2)$3$回の試行で赤玉，青玉，白玉をそれぞれ$1$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(3)$3$回の試行で白玉を$1$回以上取り出す確率を求めよ．
(4)$2$回連続で同じ色の玉を取り出すか，または，計$3$回同じ色の玉を取り出すまで試行を繰り返す．このとき，赤玉と青玉をそれぞれ$1$回ずつ取り出す確率を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$と$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$12$，最小値が$4$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18$を因数分解せよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\displaystyle a_1=3,\ a_2=4,\ a_{n+2}=\frac{4}{3}a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_{n+1}-a_n=c(a_n-a_{n-1})$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n=d \left( a_n-\frac{1}{3}a_{n-1} \right)$を満たす定数$c$と$d$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}-a_n$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．